Плоское движение тела. Плоское движение тела– совокупность поступательного и вращательного движения.

Рис. 23.

Пусть траектории всех точек тела D параллельны плоскости Q (рис. 23). Каждый отрезок M₁M₂ тела D, перпендикулярный плоскости Q, перемещается параллельно самому себе. Значит, все точки тела D, лежащие на таком отрезке, движутся по тождественным (совпадающим при наложении) траекториям и имеют одинаковые вектора скорости и ускорения (смотри теорему 1).

Рис. 24.

Поэтому вместо движения тела D можно изучать движение плоской фигуры S – сечения тела D плоскостью, параллельной плоскости Q.

Перемещение плоской фигуры S из одного положения в другое можно представить, как совокупность поступательного перемещения фигуры S вместе с любой точкой, выбранной за полюс, и вращения фигуры S вокруг полюса (рис. 24). При этом поступательное движение фигуры S существенно зависит от выбора полюса, а вращательное – не зависит. Угол поворота фигуры S не меняется (₁=₂) при выборе различных полюсов (рис. 24).

Кинематические характеристики тела при плоском движении.

Рис. 25.

Чтобы задать в пространстве положение плоской фигуры S, совместим координатную плоскость Oxy прямоугольной декартовой системы координат Oxyz с плоскостью фигуры S (рис. 25). Выберем произвольную точку A фигуры S за полюс. Из точки A проведем один луч a, параллельный оси Ox, другой луч b, связанный с фигурой S. Зная угол  между введенными лучами и координаты точки A, выбранной за полюс, можно определить положение любой точки фигуры S.

Уравнения, определяющие изменение координат полюса и угла :

x = x(t), y = y(t), ,

описывают движение плоской фигуры S, а, следовательно, плоского движения тела D (рис. 23).

Поступательное движение фигуры S вместе с полюсом характеризуется векторами скорости и ускорения полюса (точки A), лежащими в координатной плоскости Oxy (рис. 25).

Вращательное движение фигуры S вокруг полюса характеризуется векторами угловой скорости и углового ускорения , направленными параллельно оси Oz (рис. 25).

Скорость точек плоской фигуры.

Теорема 2 (о скоростях точек плоской фигуры). Скорость любой точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полюса и вращательной скорости фигуры вокруг полюса (оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости фигуры).

.

Рис. 26.

Выберем точку O, лежащую в плоскости фигуры S, за систему отсчета (рис. 26). Движение полюса (точки A) определяется векторным способом радиус-вектором _A. Движение любой другой точки B фигуры S можно определить радиус-вектором _B (рис. 26), связанным с радиус-вектором _A следующим образом:

_B = _A + _AB.

Продифференцируем последнее выражение по времени, получим доказательство теоремы:

. (22)

Величина вектора _AB не изменяется, так как тело D абсолютно твердое. При движении фигуры S изменяется только направление вектора _AB. Такое изменение характеризуется вращательной скоростью вокруг полюса и определяется выражением (19):

, , . (23)

Теорема 3 (о проекциях). Проекции векторов скоростей любых двух точек плоской фигуры на прямую линию, соединяющую эти точки между собой, равны.

Доказательство этой теоремы можно получить, спроецировав уравнение (22) на прямую линию AB, учитывая последнее из (23):