Вращательная скорость. Формула Эйлера.

Рис. 20.

Пусть при движении точки M расстояние от неё до некоторой прямой линии  остается неизменным. Зададим движение точки M векторным способом. Введем (рис. 20) радиус-вектор , начало которого находится в любой точки O₁ линии , а конец совпадает с движущейся точкой M. При движении точки M изменяется только направление радиус-вектора .

Вращательная скорость точки M вокруг прямой линии  равна векторному произведению вектора угловой скорости вращения радиус-вектора на сам радиус-вектор :

. (19)

Вектор угловой скорости вращения радиус-вектора направлен по прямой линии  по правилу правого винта (рис. 20).

Вектор вращательной скорости направлен (рис. 20) по правилу правой руки (рис. 5). Величина вращательной скорости определяется выражением: v= h_, где h_ – расстояние от точки M до линии .

Итак, скорость любой точки вращающегося тела может быть определена, как вращательная скорость вокруг оси вращения тела (19).

Вращательное и осестремительное ускорение. Формула Ривальса.

Продифференцируем выражение (19) по времени, получим:

. (Р)

Изменение вращательной скорости по времени характеризуется ускорением, имеющим две составляющих: вращательное ускорение и осестремительное ускорение.

Вращательное ускорение точки M вокруг прямой линии  равно векторному произведению вектора углового ускорения вращения радиус-вектора на сам радиус-вектор :

. (20)

Рис. 21.

Вектор углового ускорения вращения радиус-вектора направлен по прямой линии E (рис. 21).

Вектор вращательного ускорения ^ направлен (рис. 21) по правилу правой руки (рис. 5). Величина его определяется выражением: , где h_E – расстояние от точки M до линии E.

Осестремительное ускорение точки M вокруг прямой линии  равно векторному произведению вектора угловой скорости вращения радиус-вектора на вектор его вращательной скорости:

. (21)

Вектор осестремительного ускорения ^ направлен (рис. 20) по правилу правой руки (рис. 5) к линии . Величина его определяется выражением: , где h_ – расстояние от точки M до линии .

Итак, касательное и нормальное ускорения любой точки вращающегося тела могу быть определены соответственно, как вращательное (20) и осестремительное (21) ускорения вокруг оси вращения тела.

Кинематика вращательного движения тела.

1. Уравнение вращательного движения тела имеет вид:

.

2. Кинематическими характеристиками вращающегося тела являются угловая скорость и угловое ускорение этого тела. Вектор угловой скорости направлен по оси вращения по правилу правого винта. Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, когда вращение тела ускоренное, и противоположно ему, когда – замедленно.

3. Скорость и ускорение любой точки вращающегося тела можно определять соответственно из (19) и (20-21).

Рис. 22.

4. Картина распределения скоростей и ускорений по точкам вращающегося тела представлена на рис. 22. Вектора скоростей и ускорений всех точек тела лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. Вектора скоростей направлены перпендикулярно прямым линиям, соединяющим эти точки с осью вращения тела (точкой O на рис. 22). Вектора ускорений всех точек тела составляют с этими прямыми линиями угол : Чем дальше точка от оси вращения тела, тем больше величина её скорости и ускорения.