Кинематика точки.

Определить геометрическое положение точки в пространстве можно различными способами. В кинематике изучаются три способа задания положения и движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный способ задания движения точки.

Рис. 6.

При векторном способе задания движения точки сначала некоторая точка пространства O выбирается за систему отсчета (рис. 6). Положение любой точки M определяется радиус-вектором , начало которого совпадает с точкой O, а конец – с точкой M (рис. 6).

Если известно, как изменяется этот радиус-вектор во времени, то говорится, что движение точки M задано векторным способом:

.

Траекторией движущейся точки называется совокупность геометрических положений, которые она занимает в пространстве в процессе своего движения.

Годографом переменного вектора называется совокупность положений, занимаемых концом этого вектора, когда его начало находится в неподвижной точке.

Траектория движущейся точки является годографом её радиус-вектора.

Вектор скорости движущейся точки.

Рис. 7.

Пусть в момент времени t положение точки M определяется радиус-вектором (рис. 7). Пусть в момент времени t₁ = t +t положение точки M₁ определяется радиус-вектором . Введем на участке MM₁ понятие средней скорости точки, как величины характеризующей изменение положения точки M в пространстве с течением времени:

.

Скорость точки в положении M равна пределу, к которому стремится средняя скорость на участке MM₁, когда размеры этого участка стягиваются в точку:

. (1)

Направление _ср совпадает с направлением  (рис. 7), которое при t0 совпадает с направлением касательной к траектории в точке M.

Вектор скорости движущейся точки равен первой производной по времени от её радиус-вектора и направлен по касательной к траектории движущейся точки.

Вектор ускорения движущейся точки.

Рис. 8.

Пусть в момент времени t в положении M скорость точки равна (рис. 8). Пусть в момент времени t₁ = t +t в положении M₁ скорость точки равна ₁= + . Введем на участке MM₁ понятие среднего ускорения точки, как величины характеризующей изменение вектора скорости точки M в пространстве с течением времени:

.

Ускорение точки в положении M равно пределу, к которому стремится среднее ускорение на участке MM₁, когда размеры этого участка стягиваются в точку:

. (2)

Вектор ускорения движущейся точки равен первой производной по времени от её вектора скорости или второй производной по времени от её радиус-вектора.

Координатный способ задания движения точки.

Рис. 9.

При координатном способе задания движения точки вместо произвольной системы отсчета берется прямоугольная декартовая система координат Oxyz (рис. 9). Положение любой точки M определяется тремя скалярными величинами x, y, z, называемыми координатами этой точки.

Координаты точки равны расстояниям до координатных плоскостей (рис. 9).

Если известно, как изменяются координаты точки во времени, то говорится, что движение точки M задано координатным способом:

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Связь между векторным и координатным способами задания движения.

Пусть положение осей введенной (рис. 9) прямоугольной декартовой системы координат Oxyz определяют орты (векторы, модули которых равны единице) , и .

Зная координаты любой точки M в этой системе координат, можно определить радиус-вектор этой точки, начало которого совпадает с началом введенной (рис. 6) системы координат Oxyz:

. (3)

Последняя формула осуществляет переход от координатного к векторному способу задания движения точки.