Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.

МЦС (мгновенный центр скоростей) плоской фигуры называется точка (неразрывно связанная с плоской фигурой), скорость которой в данный момент времени равна нулю:

1. Доказательство существования мцс.

Рис. 27.

Пусть известен вектор скорости _A некоторой точки A плоской фигуры S и угловая скорость  вращения фигуры S вокруг этой точки (рис. 27).

Повернем вектор скорости _A на прямой угол в сторону угловой скорости  вращения фигуры S и проведем в этом направлении луч из точки A.

На проведенном луче отложим (рис. 27) расстояние, равное отношению скорости точки A к угловой скорости вращения фигуры S: AP = v_A/.

Используя теорему 2, определим скорость точки P: . Так как, согласно (23), , .

Таким образом, доказано существование МЦС – точки P, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Единственность этой точки P доказывается методом от противного.

2. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мцс.

Рис. 28.

Если при определении скоростей точек плоской фигуры полюсом выбрать МЦС этой фигуры (рис. 28), то, как следует из теоремы 2, скорость любой точки плоской фигуры равна вращательной скорости вокруг оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через МЦС (точку P):

.

Величина скорости точки плоской фигуры равна произведению угловой скорости фигуры на расстояние от точки до МЦС:

. (24)

Вектор скорости точки плоской фигуры _A лежит в плоскости фигуры и направлен перпендикулярно прямой линии, соединяющей эту точку с МЦС.

Итак, отношение скорости любой точки плоской фигуры к расстоянию от неё до МЦС есть величина постоянная (рис. 28) и равная (24) угловой скорости плоской фигуры:

. (25)

3. Способы определения положения мцс.

3a. Пусть известен вектор скорости _A некоторой точки A плоской фигуры S и угловая скорость  вращения фигуры S вокруг этой точки.

В этом случае положение МЦС определяется так, как это сделано в пункте 1 (рис. 27).

3b. Пусть известен вектор скорости _A некоторой точки A плоской фигуры S и направление вектора скорости _D другой точки D плоской фигуры S (рис. 28).

В этом случае для определения положения МЦС надо провести из этих точек лучи, направленные перпендикулярно векторам скоростей этих точек. Точка пересечения этих лучей и является МЦС плоской фигуры S (рис. 28).

3c. Пусть известны скорости _A и _B (или _A и _C) двух точек A и B (или A и C) плоской фигуры S. Вектора этих скоростей параллельны между собой и перпендикулярны прямой, соединяющей эти точки (рис. 28).

В этом случае для определения положения МЦС надо соединить сами точки и концы векторов скоростей этих точек (рис. 28). Точка пересечения проведенных линий и является МЦС плоской фигуры S (рис. 28).

Рис. 29.

3d. Пусть известны вектора скоростей _A и _B (или _A и _C) двух точек A и B (или A и C) плоской фигуры S. И вектора скоростей этих точек (рис. 29) параллельны между собой и равны (или не перпендикулярны прямой, соединяющей эти точки).

В этом случае МЦС (точка P) плоской фигуры S находится в бесконечно удаленной точке. Из отношения (25) следует, что в этот момент времени угловая скорость плоской фигуры S равна нулю: =0. Из уравнений (23) и (22) следует, что в этом случае вектора скоростей всех точек плоской фигуры S равны между собой:

.

В этом случае движение плоской фигуры S может быть названо мгновенно поступательным.

Рис. 30.

3e. В некоторых случаях положение МЦС удается указать из общих соображений.

Примером может являться качение без проскальзывания диска по неподвижной поверхности. Точка контакта K одновременно принадлежит и неподвижной поверхности и катящемуся диску, следовательно, при качении без проскальзывания она постоянно является МЦС диска. Картина распределения скоростей для этого случая приведена на рисунке 30.