Кинематические характеристики тела при сферическом движении.

Теорема 5 (о движении тела вокруг неподвижной точки). Тело, имеющее одну неподвижную точку, из одного положения в любое другое можно перевести одним поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку.

Рис. 40.

Мгновенной осью вращения называется ось  (рис. 40), вокруг которой следует вращать тело, имеющее одну неподвижную точку, для перевода его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому.

Любое сферическое движение тела можно представит последовательностью вращений вокруг совокупности мгновенных осей.

Так как сферическое движение в каждый момент времени является вращательным вокруг мгновенной оси вращения, то в качестве величин, характеризующих это движение, вводятся мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое ускорение.

Вектор мгновенной угловой скорости направлен (рис. 40) по мгновенной оси вращения  по правилу правого винта. Величина мгновенной угловой скорости равна (11) первой производной по времени от угла поворота тела в сферическом движении.

Вектор мгновенного углового ускорения равен первой производной по времени от вектора мгновенной угловой скорости:

.

Прямая линия E (рис. 40), по которой направлен вектор , называется мгновенной осью ускорения.

При сферическом движении тела его угловая скорость изменяется по величине и направлению. Вектор , будучи направлен по касательной к годографу вектора , в общем случае имеет произвольное направление.

Скорость точек тела при сферическом движении.

Рис. 41.

Скорость любой точки M тела, движущегося сферически, определяется формулой Эйлера (19) и равна векторному произведению мгновенной угловой скорости тела на радиус-вектор, соединяющий неподвижную точку тела с точкой M:

.

Вектор скорости точки M тела, движущегося сферически, направлен перпендикулярно и мгновенной оси вращения тела, и прямой, соединяющей точку M с осью .

Величина скорости точки M тела, движущегося сферически, равна произведению угловой скорости тела на расстояние от точки до мгновенной оси вращения : v= h_. (рис. 41).

Ускорение точек тела при сферическом движении.

Рис. 42.

Ускорение любой точки M тела, движущегося сферически, определяется формулой Ривальса и равно векторной сумме двух составляющих: вращательного и осестремительного ускорений: .

Вращательное ускорение точки M равно векторному произведению вектора углового ускорения тела на радиус-вектор , соединяющий неподвижную точку тела с точкой M (20): .

Осестремительное ускорение точки M равно векторному произведению вектора угловой скорости тела на вектор вращательной скорости точки M (21): .

Вектор вращательного ускорения ^ точки M тела, движущегося сферически, направлен перпендикулярно мгновенной оси ускорения тела и прямой, соединяющей точку M с осью E.

Величина вращательного ускорения точки M тела, движущегося сферически, равна произведению углового ускорения тела на расстояние от точки до мгновенной оси ускорения: . (рис. 42).

Вектор осестремительного ускорения ^ точки M тела, движущегося сферически, направлен от точки M к мгновенной оси вращения .

Величина осестремительного ускорения точки M тела, движущегося сферически, равна произведению квадрата угловой скорости тела на расстояние от точки до мгновенной оси вращения: . (рис. 42).