Скорость точки при сложном движении.

Теорема 6 (о скорости точки при сложном движении). При сложном движении точки её абсолютная скорость равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

Пусть движение точки O относительно неподвижной системы координат Ox₁y₁z₁ определяется радиус-вектором (рис. 46).

Тогда при сложном движении точки M в любой момент времени выполняется следующее тождество: .

Продифференцируем это векторное тождество по времени:

,

так как – скорости точки M относительно неподвижной системы координат, то есть, её абсолютной скорости; – скорости точки O относительно неподвижной системы координат.

.

В последнем выражении были использованы формулы Пуассона:

, , .

Здесь – вектор угловой скорости тела D.

И, наконец, – скорости той точки тела D, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка M, то есть, переносной скорости точки M. Что и требовалось доказать:

. (36)

Ускорение точки при сложном движении. Теорема Кориолиса.

Теорема 7 (об ускорении точки при сложном движении). При сложном движении точки её абсолютное ускорение равно векторной сумме трёх ускорений: переносного, относительного и Кориолиса.

Определим абсолютное ускорение точки M как полную производную по времени от её абсолютной скорости:

,

так как – ускорению точки O относительно неподвижной системы,

– угловому ускорению тела D или неразрывно связанной с ним подвижной системы координат Oxyz.

Кроме того, учтем, что – ускорению той точки тела D, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка M, то есть, переносному ускорению точки M. И, наконец, обозначив удвоенное векторное произведение угловой скорости тела D на относительную скорость точки M, как ускорение Кориолиса: , получим доказательство теоремы:

. (37)

Ускорение Кориолиса.

Ускорение Кориолиса характеризует изменение вектора относительной скорости точки M в её переносном движении и изменение вектора переносной скорости точки M в её относительном движении.

Рис. 47.

Поясним последнее утверждение на примере равномерного и прямолинейного движения точки M по радиусу диска от его центра, когда сам диск вращается равномерно (рис. 47).

В приведенном примере изменение направления вектора относительной скорости точки M происходит за счет вращения диска (a_r=0), то есть, при переносном движении точки. Изменение величины переносной скорости происходит за счет перемещения точки M по диску (_e=0), то есть, при относительном движении. И то и другое характеризует ускорение Кориолиса.

Вектор ускорения Кориолиса равен удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения точки на линейную скорость её относительного движения:

, (38)

и, следовательно, вектор направлен по правилу правой руки (рис. 44).

Величина ускорения Кориолиса равна удвоенному произведению угловой скорости переносного движения точки на относительную её скорость и на синус угла между векторами этих характеристик:

. (39)

Отметим случаи, когда ускорение Кориолиса обращается в ноль:

1. _e=0, то есть, переносное движение является поступательным;

2. v_r=0, то есть, в те моменты времени, когда происходит изменение направления относительного движения;

3. , то есть, когда векторы угловой скорости переносного движения и линейной скорости относительного движения параллельны между собой.