19.Уравнение прямой в пространстве.

Каноническим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x0,y0,z0) параллельно вектору a(l,m,n) называется равенство:

Уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x0,y0,z0) и B(x1,y1,z1) называется равенство:

Параметрическим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x0,y0,z0) параллельно вектору a(l,m,n) называется:

20. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

каноническими уравнениями

параметрическими уравнениями

Теорема. Пусть и

– общие уравнения двух плоскостей. Тогда:

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельны;

3) если или , то плоскости пересекаются и система уравнений

является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.

Теоремы

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпердикулярна и самой наклонной.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.

Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

22. Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.

Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Т.к. MF1 + MF2 = 2a

Т.к.

То получаем

Или .

Окружность

Уравнение

определяет окружность радиуса R с центром C(а=0; в=0).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то есть если , , то уравнение (1) принимает вид:

23 Парабола. Определение.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.

Пусть M(x;y) – произвольная точка M с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно

определению MF=MN.

24. Гипербола. Определение.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности

расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению

гиперболы |MF1 – MF2|=2a или MF1 – MF2

=±2a,

26. Полярные системы координат.

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)

и обратно:

ρ=sqrt(x2)+y2), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)