23. Атом водорода, собственное значение и собственная ф-я угловой части ур-я Шредингера

Р/м движение эл-на в центрально-симметричном кулоновском поле ядра. Ур-е Шр-ра для частицы в центрально-симметричном поле: . Будем р/м движение частицы в сферической системе координат. (1), где (1). Решение уравнения Шредингера будем искать в виде: . Подст-я реш в ур Шредингера: . Так как обе части этого уравнения входят независимые переменные и эти части равны, то мы должны положить . Т.о, это ур распадается на 2: (2) и (3). Рассмотрим сначала решение ур (3). Распишем лапласиан, связанный с поворотом тела в прост-ве: . . Так как не зависит ни от , ни от , то =const Тогда . Будем искать его решение в виде: Разделим на : , где – константа разделения. Разобьём это ур на 2 части: и , . Запишем систему

Решение первого уравнения данной системы имеет вид: . Из требования однозначности решения следует, что должно быть любым положительным или отрицательным числом. Поэтому все собственные функции дифференциального уравнения (4) могут быть представлены формулой: , где m=0,+-1,+-2. Постоянная C находится из условия нормировки и равна . Т.образом, . Решая уравнение (5), перейдём к новым координатам: . Тогда и ; dθ=-dξ/√(1-ξ²). С учётом последних преобразований перепишем уравнение (5): . Чтобы привести данное уравнение к стандартному виду введём обозначение: , где l – неотрицательное целое число. Тогда решением данного уравнения будет присоединённый полином Лежандра: . Причём, при заданном l, m может принимать только 2l+1 значение: . Волновая функция должна удовлетворять условию нормировки: ; . Так как и связаны однозначно, то мы можем переписать последний интеграл в виде: . Выражение, стоящее под внутренним интегралом, не зависит от , поэтому мы можем вычислять каждый интеграл по отдельности и полученные значения перемножить. Известно, что , где – символ Кронекера. Второй интеграл даёт значение . Собственная функция уравнения (5) запишется в виде: . Тогда с помощью условия нормировки, мы можем записать: . . Мы получили угловую функцию, описывающую движение частиц в центрально – симметричном поле.

24. Атом водорода, собственное значение и собственная ф-я радиальной части ур-я Шредингера

Рассмотрим потенциальную энергию частицы: . Решим уравн Шредингера для потенциальной составляющей: . Введём следующие обозначения: ; . Замена переменных: , ; . Тогда уравнение примет вид:

(1).

1)Р/м сначала асимптотическое решение при p→∞. Тогда(1) преобр к виду: . Решением его будет . Чтобы решен было ограничено на бесконечности, необходимо положить ; .

2)Теперь рассмотрим ассимптотику при p→0: . Решение будем искать ввиде: : , , ; . Мы получили уравнение относительно : , . . Если , то . При p→∞, p→0. Поэтому данное придётся отбросить. Т.о, остаётся решение: .

Решение для радиальной составляющей волновой функции мы будем искать в виде: . Здесь ν(p) – некот функция, которая определяет поведение R в промежутке от 0 до бескон. Подставляем данный вид реш-я в (1): (2). Введём ограничен на функцию : она не должна на бескон расти быстрее, чем , а в 0 должна либо обращаться в 0, либо быть const, . Подставим в (2):

.

Д анный многочлен будет равен нулю только в том случае, когда коэффициенты при каждой степени p будут равны нулю: . Данное соотношение даёт рекуррентную формулу . Оценим коэффициенты a_k при k→∞: , . Т.о, и . Тогда при каком-нибудь малом значении многочлен можно оборвать: , а . Данное услов будет выполнено, если коэффициент при будет равен нулю: , ;. , . . , . Из этой формулы следует, что энергия зависит от l и k. Введём следующее обозначение: l+k+1=n. Тогда  , где n=1,2,... Таким образом, решая уравнение Шредингера, мы нашли энергии водородоподобного атома, то есть нашли собственные значения оператора Гамильтона.

22. Собственные значения энергии щелоч­ных металловЩелочные металлы в периодиче­ской системе Менделеева следуют за благородными газами: литий следует за гелием, натрий-на неоном.Щелочные металлы одновалентны и их сравни­тельно легко ионизировать.Щелочные атомы являются водородоподобными ато­мами, однако не полностью. Дело в том, что внешний электрон несколько деформирует оболочку первых Z — I электронов и несколько искажает их поле. Поэтому потенциальную энер­гию валентного электрона можно представить в виде

E_п(r)= ( ) (33.1)

где - е²/( r²), - С₂ е²/( r³) -поправки, учитывающие отличие поля атомов щелочных металлов от поля атома водорода. В вычислениях мы ог­раничимся учетом лишь первой поправ­ки - е²/( r²) получаем

= 0. (33.2)

Переписав это уравнение следую­щим образом:

(33.3)

если поло­жить

= l'(l' + 1), (33.4)

причем во все последующие вычисле­ния вместо величины l войдет величина l', определяемая формулой (33.4). Решение квадратного уравне­ния (33.4):

(33.5)

Отрицательные значения l' дол­жны быть отброшены, поскольку они приводят к бесконечности волновой функции в нуле. Окончательно выра­жение (33.5) для l' может быть пред­ставлено в виде

(33.6)

Если = 0, то . Член, со­держащий , учитывает поправку на искажение поля. Если оно мало, этот член также мал

Тогда

(33.8)

Из формулы (33.1) видно, что имеет размерность длины. Чтобы

второй член был малым по сравне­нию с первым, надо, чтобы (C₁/ r₀)«1, где г₀- расстояние от ядра до ближайшего электрона. Учитывая, что в формуле (33.8) те²/(4пг₀ ћ²) = = 1 /а₀, где а₀~ радиус первой боров- ской орбиты, мы убеждаемся, что по­правочный член в (33.8) действитель­но мал. Главное квантовое число заменяется числом

n' = l' + k+1 = l + k+1- [ ] ^-1 = п + σ(l), (33.9а)

где

σ(l)= - С₁ те²/[ ] (33.96)

а формула для уровней энер­гии

33 10)

в которой для Е введено два индекса, поскольку теперь энергия зависит не только от главного квантового числа и, но и от орбитального квантового числа /.

Зависимость энергии от орбиталь­ного квантового числа составляет принципиальное отличие уровней энергии атомов щелочных металлов от уровней энергии атома водорода.

23. спектральные серии щелочных атомов, правила отбора.

Спектры испускания атомов щелочных металлов, подобно спектру водорода, состоят из нескольких серий линий. Наиболее интенсивные из них получили названия: главная, резкая, диффузная и основная (или серия Бергмана). Эти названия имеют следующее происхождение. Главная серия названа так потому, что наблюдается и при поглощении. Следовательно, она соответствует переходам атома в основное состояние. Ее частоты условно обозначены в виде

w = 2S — тр (m = 2, 3, 4,...), (33.13)

т. е. частота со излучается в результате переходов электрона из состояний тр (т = 2, 3, 4,...) в состояние 2s.

В спектре атома лития имеются кроме главной и другие серии. Важ­нейшие из них следующие.

Первая побочная (или диффузная) серия. Частоты этой серии

w = 2p-md (m = 3,4,5,...). (33.14) Серия называется диффузной потому, что ее линии несколько размыты, не очень резки. Причина такой диффуз- ности линий объяснена ниже.

Вторая побочная (или резкая) се­рия. Частоты этой серии

w = 2 p-ms (m = 3,4,5,...). (33.15)

Резкая и диффузная серии состоят соответственно из резких и размытых (диффузных) линий. Серия Бергмана была названа основной (фундаментальной) за свое сходство с сериями водорода.

Следующая серия, получающаяся в результате переходов электрона из f-состояний в 3 d-состояние, лежит в инфракрасной части спектра.

Правила отбора. Излучение проис­ходит в результате перехода оптичес­кого электрона с одного энергетичес­кого уровня на другой. Однако не все переходы возможны. Возможными являются лишь переходы, разрешен­ные правилами отбора, которые сов­падают с правилами отбора для одноэлектронного атома

-любое число, = 1, (33.11) т. е.

главное квантовое число может изме­няться на любое значение, а орби­тальное квантовое число-лишь на единицу.

Это означает, что возможны пере­ходы лишь между соседними по L уровнями, т.е. между s- и p-состоя- ниями, между р- и d-состояниями, между d- и f-состояниями и т. д. (см. рис. 65).