- •6. Понятие волн де Бройля...
- •9. Опыты Резерфорда Ядерная модель атома.
- •13. Постулаты квантовой механики.
- •17.Одномерная яма конечной глубины.
- •18. Прямоугольный потенциальный барьер.
- •19. Контактная разность потенциалов.Холодная эмиссия электронов из металлов, альфа распад.
- •23. Атом водорода, собственное значение и собственная ф-я угловой части ур-я Шредингера
- •24. Атом водорода, собственное значение и собственная ф-я радиальной части ур-я Шредингера
- •24. Дублетный характер спектров щелочных металлов. Спин эл-на, спин-орбитальное взаимодействие.
- •25. Маг и мех моменты электрона. Правило квантования.
- •26. Маг и мех момент атома. Векторная модель атома. Jj и l-s связь…
- •27.Эффект Зеемана.
- •29. Эффект Пашена – Бака.
- •32. Рентгеновские спектры.
13. Постулаты квантовой механики.
Квантовая теория базируется на нескольких основных положениях, принимаемых без доказательств:
Состояние движения квантового объекта описывается волновой функцией .
Для электромагнитной волны:
=>
Тогда
Волновая функция подчиняется уравнению Шредингера
, где - оператор полной энергии системы (Гамильтона)
Каждая динамическая переменная представляется определённым линейным эрмитовым оператором.
При измерении некоторой динамической переменной, описываемой оператором , с определённой вероятностью получается одно из собственных значений этого оператора. Вероятность получения при измерении собственного значения равна , где - коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям оператора .
Среднее значение динамической переменной можно найти с помощью волновой функции Ψ.
Согласно третьему постулату операторы, описывающие переменные, должны быть линейными и эрмитовыми.
Оператор координаты является оператором умножения на эту координату: . Например
оператор проекции импульса?
Оператор проекции импульса на оси декартовой системы координат:
; ;
Например
оператор полного импульса
Оператор полного импульса
оператор Гамильтона
Оператор Гамильтона может быть получен как оператор импульса. В классической физике функцией Гамильтона называется полная энергия системы, выраженная через обобщение координаты и обобщение импульса:
, где U(r) – потенциальная энергия
Оператор Гамильтона:
оператор момента импульса частицы
В классической физике момент импульса:
Операторы момента импульса:
Если результатом действия оператора на функцию u является та же функция, умноженная на число λ, то число λ называется собственным значением оператора , а функция u – собственной функцией .
Собственные функции в квантовой теории должны удовлетворять условиям непрерывности, конечности, гладкости, однозначности.
Совокупность собственных значений оператора называется его спектром.
Именно собственные значения обнаруживаются в эксперименте.
14.Основные сведения из теории операторов. Одна из основных задач квантовой механики состоит в определении вероятности получения того или иного значения динамических переменных, характеризующих частицу или квантовую систему. Причём в квантовой физике не только координаты и скорости, но и другие физические величины не могут иметь определённые значения. Поэтому говорят лишь о вероятности системы иметь то или иное значение величины её характеризующей: энергии, импульса, координаты и т. д. В связи с эти в квантовой физике физическая величина характеризуется её не численным значением, а оператором, который эта физическая величина представляет. Оператором называют правило, по которому любой функции из некоторого пространства сопоставляется другая функция из этого же пространства, то есть u=v.
Если ,то операторы и называются антикоммутирующими, и запись
Теорема 1. Собственные функции линейного эрмитового оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, то есть
Док-во: Запишем по определению собственного значения: . Теперь, подставляя сюда формулы (1), получим: – константы, то мы можем вынести их за знак интеграла. Перенося интеграл в левую часть, получим: Так как собственная функция определяется лишь с точностью до произвольного множителя, то этот множитель можно выбрать так, чтобы функции были ортонормированными: |
16. Условие одновременной измеримости динамических переменных Из постулатов квантовой механики следует, что при измерении некоторой физической величины получается определённое значение лишь в том случае, когда волновая функция, описывающая систему, является собственной функцией оператора измеряемой величины. В общем случае различные операторы имеют различные собственные функции, то есть описываемые ими физические величины не могут одновременно иметь точно определённые значения, но в некоторых случаях это возможно. Необходимым и достаточным условием того, чтобы две физические величины имели одновременно определённые значения, является коммутативность операторов, описывающих эти величины. Докажем это утверждение. Необходимость. Пусть операторы имеют общую собственную функцию, а значит описываемые ими физические величины, одновременно имеют определённые значения Умножим эти выражения на соответств.:
Так как по условию функция не нулевая, то , то есть операторы коммутирующие. Операторы имеют общую собственную функцию , и поэтому соответствующие им динамические переменные являются одновременно измеримыми с какой угодно степенью точности. Проверим, являются ли одновременно измеримыми проекция импульса на координату и сама эта координата: . Найдём их коммутатор:
Подействуем этим оператором на функцию f : То есть оператор коммутатора не равен нулю. Значит операторы не коммутирующие. Значит, координата и проекция импульса не могут одновременно иметь определённые значения. Соотношение между дисперсией координаты и импульсом частицы было установлено Гейзенбергом (1927 г.) и получило в последствии название соотношения неопределённостей Гейзенберга. Найдём его. По определению дисперсии мы можем записать . Аналогично для импульса: . Выберем такую систему координат, в которой <x>=0 и <p>=0. В этой системе координат дисперсия координаты и импульса будет
Для нахождения связи между неопределённостью координаты и неопределённостью импульса, Гейзенберг предложил рас/ть ∫ вида:
Раскроем теперь скобки и приведём подобные члены. Причём, запишем полученное выражение как многочлен относительно степеней :. Так как подынтегральное выражение являлось квадратом модуля, то интегральная функция будет положительно определена: (1). Запишем теперь выражения для коэффициентов
Беря полученный интеграл по частям, запишем: . Первое слагаемое здесь равно нулю, а второе 1 в силу условия нормировки.
Запишем теперь условие положительной определённости (1): дискриминант (1) должен быть меньше либо равен нулю:
Подставляя в последнее выражение значения A,B и С, получим:
Возвращаясь к определению дисперсии в выбранной нами Данное соотношение носит название соотношения неопределённостей Гейзенберга. Оно показывает, что импульс и координаты частицы не могут быть одновременно определены (измерены) со сколь угодно большой точностью, хотя любая из этих величин по отдельности измерима с любой точностью. До измерения частица не имела определённых значений динамических переменных. Определённые значения динамические переменные квантовой системы принимают только в процессе измерения. Под процессом измерения в квантовой физике понимается процесс взаимодействия с любым классическим объектом (прибором). Наличие же наблюдателя вовсе не обязательно. Таким образом, измерения объективны.
Для других сопряженных величин – энергии E и времени t соотношения неопределенностей, имеет вид: . Это означает, что при характерном времени эволюции системы Δt , погрешность определения ее энергии не может быть меньше чем . Из этого соотношения следует возможность возникновения из ничего, так называемых, виртуальных частиц на промежуток времени меньший, чем и обладающих энергией ΔE. При этом закон сохранения энергии не будет нарушен. Поэтому по современным представлениям вакуум это не пустота, в которой отсутствуют поля и частицы, а физическая сущность, в которой постоянно возникают и исчезают виртуальные частицы.Одним из Если в классической физике измерение не возмущало сам объект, то в квантовой механике каждое измерение разрушает объект, уничтожая его волновую функцию. Для нового измерения объект нужно готовить заново. В этой связи Н. Бор выдвинул принцип дополнительности, суть которого в том, что для полного описания объектов микромира необходимо использование, двух противоположных, но дополняющих друг друга представлений.
|