4. Определители n-го порядка. Вычисление и свойства.

n-порядок определяется в матрице по кол-ву строк и столбцов квадратной матрицы(число строк и столбцов равны). Определитель матрицы – это число, которое постоянно в соответствии целой таблице, т.е. матрицы.

Определитель 1го порядка равен элементу матрицы. Определитель 2го порядка – произведение главной диагонали – произведение побочной диагонали. Определитель 3го порядка: метод треугольн. Определитель не может быть разным у одной и той же матрици каким бы способом его не высчитывали.

Минором какой-либо квадратной матрицы называется определитель, полученный из матрицы путем вычеркивания строки и столбца на котором он находится = = и т.д.

Алгебраическим дополнением какого-либо элемента квадратной матрицы является минор этой матрицы, умноженный на (-1) в стпени №строки+№столбца на пересечении которых он находится.

Свойства определителей:

1. Определитель не поменяется, если матрицу транспонировать

2. Перестановка любых 2х строк или столбцов равносильна умножению определителя на -1.

3. Если в матрице 2 одинаковые строки или столбцы, то опред. = 0. Док-во, т.к. мы меняем местами одинак строки, то опред * на (-1), но строки не меняются, следоват-но определит. = 0.

4. Если каждый элемент какой-либо строки-столбца определителя умножить на действит число α, то это равносильно произведению всего определителя на число α .

5. Если в матрице есть 0вая строка или столбец, то опред=0

6. Если в матрице есть пропорциональные строки, то определитель = 0

7. Если каждый элемент какого-либо столбца(строки) матрицы представляет собой сумму 2х слагаемых, то определ. Можно представить в виде суммы 2х определителей.

8. Величина определителя не изменится, если к столбцу, строке прибавить другую стоку, столбец умноженное на действительное число α.

9. Величина определителя численно равна сумме элементов какой-либо строки или столбца, умноженное на свои алгебр. Дополнения. Разложение определителя по какой-либо строке или столбцу. Определители 4 и более высокого порядка можно вычислить только разложением по строке или столбцу. Перечисленные свойства справедливы для определителей любых порядков больше 1.

Пример = 4* =0

Для облегчения расчетов выбираем столб, где есть хотя бы один 0.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали или элементов на побочной диагонали умножен. На (-1) . Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали. Определитель AB равен определителю А умноженный на определитель B.Для нахождения определителя необходимо выделить строку или столбец где больше всего 0,далее как показано в примере сверху.

5. Матрица. Линейные операции с матрицами. Умножение матриц, обратная матрица.

Матрица – таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов

Под линейными операциями над матрицами понимают: сложение матриц, умножение матриц на любое действительное число. Для данных операций справедливо 8 аксиом:

1. A+B=B+A

2. A+(B+C)=(A+B)+C

3. A+θ=A

4. A+(-A)= θ

5. 1*A=A

6. 

7. α(A+B)=αA+Αb

8. (α+β)A=αA+Βa

Умножение матриц. Для перемножения матриц необходимо чтобы кол-во столбцов у 1й матрицы = кол-ву строк у 2й матрицы. Матрица-строка умножается на матрицу столбец. Свойства умножения матриц:

1)A*B≠B*A 2) A*E(1я матрица)=E*A=A

3)A*(BC)=(AB)*C 4) A*(B+C)=AB+AC

5) (A+B)*C=AC+BC (матрицы умножаются строго по порядку)

Обратные матрицы. Обр. матр. Называется вырожденной, если ее определитель равен 0, в противном случае невырожденной. Если С=AB и определитель С=0, то матрица С-вырожденная и хотя бы одна из А и B тоже вырожденная. B – обратная матрица к А, если справедливо равенство AB=BA=E и обозначается . Теорема о существовании обратной матрицы. Если матрица А невырожденная, то у нее существует обратная матрица, которая находится по формуле Матрица получается из матрицы А заменой каждого элемента матрицы А его алгебраическим дополнением. Теорема о единственности обратной матрицы. Если матрица обратима, то у нее существует только 1 обратная матрица. Док-во: предоложим, что у матрицы А есть 2 обратных матрицы B,C. Тогда т.к. B – обратная к А, следовательно AB=BA=E, но с другой стороны AC=CA=E Рассмотрим матрицу B=BE по 5 свойству умножения матриц B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,что противоречит свойству, следовательно B=C. Свойства обратных матриц: 1) Док-во: Докажем, что * ‑ обратная к (AB) (AB)( )=A(B ) =AE =E( )(AB)= ( A)B= EB= B=E Следовательно – обратная к (AB)

2) 3) | |= 4) определитель транспонированной матрицы |( )|=