2.3 Дробово-лінійна функція. Рівняння Міхаеліса-Ментен

2.3.1. Означення і формула

Обернено пропорціональна залежність є окремим випадком дробово-лінійної функції, яка має такий вигляд:

, (2.3.1)

де a, b, c і d - постійні величини (параметри). Оскільки знаменник не може бути нулем, то функція у визначається для всіх значень х, крім точки . При с = 0 дана функція перетворюється на лінійну:

, (2.3.2)

Легко помітити, що після приведення до спільного знаменника правої частини функції (2.2.6), вона матиме вигляд (2.3.1). Функцію (2.3.1) можна також записати у формі (2.2.6). Для цього потрібно розділити чисельник правої частини (2.3.1) на знаменник (відділити цілу частину), а саме:

. (2.3.3)

Порівнюючи одержаний вираз з правою частиною функції (2.2.6), бачимо, що дробово-раціональна функція виражає обернено пропорціональну залежність, а її графіком є гіпербола, яка зміщена відносно осі Оу на величину і відносно осі Ох - на величину .

2.3.2 Рівняння Міхаеліса—Ментен

У біології відомо, що між кількістю їжі і швидкістю її споживання мікроорганізмами існує тісна залежність, яка може бути виражена дробово-раціональною функцією. Так, вивчаючи розмноження мікроорганізмів на різних поживних речовинах (субстратах), французький мікробіолог Ж. Моно показав, що в багатьох випадках залежність швидкості V поїдання субстрату мікроорганізмами від концентрації S субстрату може описуватись відомим рівнянням Міхаеліса-Ментен:

, (2.3.4)

де V_max - максимальна швидкість поїдання (поглинання) субстрату; К_m -постійна, яка називається константою Міхаеліса. Константа К_т дорівнює такій концентрації субстрату, за якої швидкість поглинання субстрату досягає половини максимальної швидкості, тобто коли V = 0,5 V_mах.

Графіком функції (2.3.4) є гіпербола, яка називається гіперболою Міхаеліса (рис. 2.5). Рис. 2.5. Коли кількість (концентрація) субстрату необмежено зростає (S→∞), швидкість поглинання прямує до сталої величини V = V_max, тобто точки гіперболи наближаються до прямої V = V_max (на рис. 2.5 це - горизонтальна пунктирна пряма). Така пряма, до якої зменшується відстань від точок кривої, що простягається в нескінченність, називається асимптотою кривої, або асимптотою графіка даної функції. Отже, пряма V = V_max є асимптота гіперболи Міхаеліса.

2.4 Степенева функція

2.4.1 Означення, формула і графіки

Степенева функція визначається рівнянням

, (2.4.1)

де а - будь-яке стале число (параметр), а - раціональне число (показник степеня). Якщо а > 0 і  - парне і додатне число, то графіком функції (2.4.1) є парабола з вершиною в початку координат, симетрична відносно осі Оу, причому вітки параболи спрямовані угору (рис. 2.6). При  = 2 парабола називається квадратичною параболою, при  = 4 - параболою четвертого степеня і т. д. При а < 0 і  - парному і додатному числі вітки параболи будуть спрямовані вниз (пунктирні лінії на рис. 2.6).

Якщо а > 0, а  - непарне і додатне число, то графіком функції буде парабола, що проходить через початок координат і симетрична відносно початку координат, причому права вітка спрямована угору, а ліва - униз (рис. 2.7). Якщо а < 0 і  - непарне і додатне число, то права вітка спрямована вниз, а ліва - угору (пунктирні лінії на рис. 2.7). При  = 3 парабола називається кубічною, при  = 5 - параболою п'ятого степеня і т. д.

Характерним для графіків усіх парабол є те, що їх вітки, які відповідають більшим значенням показника , лежать ближче до осі Ох (рис. 2.6 і 2.7).

Якщо - дробове число, то п функція (2.4.1) матиме вигляд:

(2.4.2)

а її графіки для різних значень т і п відрізнятимуться від кривих, зображених на на рис. 2.6 т і рис. 2.7. Тому побудова цих графіків потребує спеціального розгляду (радимо читачеві виконати цю побудову самостійно).

При а = -1 з рівняння (2.4.1) одержимо обернено пропорціональну функціональну залежність у вигляді (2.3.5), графіком якої є рівнобічна гіпербола (рис. 2.3), а якщо а<-1, то графік відповідної функції називається степеневою гіперболою.

Рис. 2.7

2.4.2 Застосування в екології

Розглянемо кілька прикладів, коли біологічні процеси описуються степеневою функцією. Раніше зазначалось, що вага риби на ранньому періоді її розвитку (від 2 до 6 років) може описуватись лінійною функцією.

Ф. І. Баранов (1961) замість лінійної залежності (2.1.5) запропонував обчислювати вагу риби кубічною залежністю:

, (2.4.3)

а вагу риби визначати через її довжину за допомогою такої степеневої функції:

, (2.4.4)

де а і b - параметри, які знаходяться на основі експериментальних або натурних спостережень.

Швидкість розмноження популяції, як правило, спочатку збільшується, а потім, у зв'язку з недостатнім харчуванням та внутрішньою конкуренцією, починає зменшуватись, прямуючи до значень, близьких нулю. Цим самим підтримується оптимальна в даних умовах чисельність популяції. Встановлення такої рівноваги називається гомеостазом популяції. Виходячи із сказаного, швидкість розмноження популяції доцільно описати за допомогою степеневих функцій, зокрема такою функцією (квадратним двочленом):

, (2.4.5)

де N - кількість особин, r - питома швидкість розмноження, К – ємність середовища (максимальна чисельність, при якій швидкість дорівнює нулю, тобто швидкість розмноження припиняється).