2.2 Пряма і обернена пропорціональні залежності

2.2.1. Означення, основні формули, графіки

Функціональна залежність між двома змінними величинами називається прямо пропорціональною в тому разі, якщо збільшення (зменшення) однієї з величин у кілька разів приводить до збільшення (зменшення) другої величини в стільки ж разів.

Інакше кажучи, дві змінні величини х і у перебувають у прямій пропорціональній залежності, якщо відношення між ними протягом їх змінювання залишається сталою величиною, тобто , число k називається коефіцієнтом пропорціональності. Очевидно, лінійна функція

у = kх (2.2.1)

виражає пряму пропорціональну залежність, де параметр k є коефіцієнтом пропорціональності. Графічно ця залежність зображується прямою, що проходить через початок координат. Більше того, будь-яка пряма лінія зображує пряму пропорціональну залежність між двома змінними величинами х і у, яка виражається лінійною функцією. Зокрема, якщо пряма проходить через точку M₀(x₀, у₀) з координатами х₀ і у₀, то рівняння прямої виглядатиме так:

, (2.2.2)

де параметр k, що називається кутовим коефіцієнтом, є коефіцієнтом пропорціональності.

Якщо пряма проходить через точку М₁,(х₁, у₁,) і точку М₂,(х₂, у₂,), то рівняння такої прямої має вигляд:

, (2.2.3)

де відношення

(2.2.4)

є кутовим коефіцієнтом, або коефіцієнтом пропорціональності.

Наведені у попередньому пункті лінійні залежності між довжиною риби та її вагою w = 0,02L. і w = 2L є прикладами прямої пропорціональної залежності з коефіцієнтами пропорціональності відповідно k₁ =0,02 і k₂ =2.

Функціональна залежність між двома змінними величинами називається обернено пропорціональною, якщо збільшення (зменшення) однієї з них в кілька разів приводить до зменшення (збільшення) другої величини в стільки ж разів.

Інакше кажучи, дві змінні величини х і у перебувають в обернено про-порціональній залежності, якщо добуток цих величин у процесі їх зміни залишається постійним, тобто ху = k = const.

Отже, обернено пропорціональна залежність виражається такою функцією:

, (2.2.5)

де параметр k називається коефіцієнтом оберненої пропорціональності.

Графіком оберненої пропорціональної залежності (2.2.5) є рівностороння гіпербола (рис. 2.3).

У загальному випадку обернено пропорціональна залежність виражається такою функцією:

, (2.2.6)

де k, а, b - постійні величини (параметри).

Графіком функції (2.3.6) є гіпербола, зміщена відносно осі Оу на величину а і відносно осі Ох - на величину b (рис. 2.4).

Якщо сталу величину k замінити на -k, то графіками функцій будуть гіперболи,

(2.2.7)

розташовані симетрично вже побудованим (на рис. 2.2 і рис. 2.3 ці гіперболи зображені пунктирними лініями).

Рис. 2.2 Рис. 2.3

2.2.2 Застосування в екології. Модель типу «хижак - жертва»

Розглянемо приклади застосування цих функцій в екології. Відомо, що між деякими видами існує залежність типу «хижак - жертва». Зокрема, такі взаємовідносини мають популяції зайців і вовків, а саме: на деякому періоді свого розвитку залежність кількості N_З популяції зайців від кількості N_B популяції вовків може бути виражена такою функцією:

(2.2.8)

де параметр k визначається на основі даних натурних спостережень. Якщо в якийсь певний день було зафіксовано (підраховано) кількість зайців N₃=120 і кількість вовків N_В = 50 то знайдемо k = N_З ^.N_B = 120 ^. 50 = 6000. Отже, кількість зайців залежно від кількості вовків можна визначити за формулою:

. (2.2.9)

Легко побачити, що чим більше налічується вовків, тим менше буде зайців. Зазначимо також, що така залежність, крім хижацтва вовків, не враховує інших факторів, які впливають на розмноження і смертність зайців. Тому користуватись залежністю (2.2.9) можна тільки за певних обмежень для досить наближеного прогнозування. Точніші формули і математичні моделі, що описують взаємодію популяцій типу «хижак -жертва», будуть розглянуті у третьому розділі посібника.