Var I,j,k: Integer;

y,w: Real;

BEGIN

FOR i:=1 TO n DO

{приведення матрицi системи (1) до трикутного виду (3)}

BEGIN

k:= i; y := a[i,i];

FOR j:= i+1 TO n DO

BEGIN w := a [j,i];

IF Abs (w) > Abs(y) THEN BEGIN k := j; y := w END

END;

IF Abs (y) <e THEN BEGIN Write ('НЕ ВИЗНАЧЕНО'); goto 1 END;

FOR j := i TO n+1 DO

BEGIN w := a[k,j]; a[k,j]:= a [i,j]; a[i,j] := w/y END;

FOR k := i+1 TO n DO

FOR j :=n+1 DOWNTO i+1 DO a[k,j] := a[k,j]-a[i,j]*a[k,i]

END;

FOR i := n DOWNTO 1 DO {Зворотний хід метода Гаусса}

BEGIN w := 0;

FOR j := i+1 TO n DO w := w+a[i,j]*x[j];

x[i] := a[i,n+1]-w

END;

1:

END{ linequ };

Var I, j : Integer;

u : Real;

c : ar1;

BEGIN

{ обчислення елементiв розширеної матрицi С у (13);}

FOR i := 0 TO n DO a [i] :=1;

FOR i := 0 TO 2*m DO

BEGIN

u := 0;

FOR j := 0 TO n DO u := u+a[j];

IF i<=m THEN

BEGIN

FOR j := 0 TO i DO c[i-j+1,j+1] := u;

u := 0;

FOR j := 0 TO n DO u := u+y[j]*a[j];

C[i+1,m+2] := u

END

ELSE IF i<>2*m THEN FOR j := i MOD m TO m DO c[i-j+1,j+1]:=u

ELSE c[m+1,m+1] := u;

FOR j := 0 TO n DO a[j] := a[j]*x[j]

END;

{ розв'язування системи (13) програма (Д3);}

Linequ(c,m+1,1E-6,a);

t := 0;

FOR i := 0 TO m DO a[i] := a[i+1];

FOR i := 0 TO n DO

BEGIN

U := 0;

FOR j := m DOWNTO 1 DO u := (u+a[j])*x[i];

{обчислення середньоквадратичної похибки за формулою (14).}

t := t+Sqr(y[i]-u-a[0])

END;

t := Sqrt(t/(n+1))

END;

BEGIN{Операторна частина контрольного приклада.}

m:=4;

n:=5;

for i:=0 to 5 do x[i]:=i;

y[0]:=2; y[1]:=3;y[2]:=7;y[3]:=10;y[4]:=18;y[5]:=26;

apr(m,n,x,y,t,a);

for i:=0 to 5 do

writeln(' Вiдповiдь a',i:1,'=',a[i]:2:6);

writeln(' Похибка t=',t:0:6);

writeln('Press Enter');

readln;

END.

Завдання для самостійної роботи:

Скласти блок-схему програм Д3 і Д4 і модернізувати алгорим для вводу початкової інформації з файлів.

Додаток 2 .Зразки тестових питань для самоперевірки:

К розділу 1.

11. Математичне моделювання – це моделювання,

1)що засновано на подібності процесів і явищ, що мають різну фізичну природу, але однаково описуються формально (одними й тими ж математичними рівняннями і т.п.);

2)що основане не на матеріальній аналогії об’єкта і моделі, а на аналогії уявній;

3)основане на інтуїтивному уявленні про об’єкт дослідження, що не піддається формалізації чи не має в ній потреби; 4)при якому реальному об’єкту протипоставляється його збільшена чи зменшена копія..

5)при якому дослідження об’єкта здійснюється через модель, сформульовану з використанням тих чи інших математичних методів.

12. Моделі із зосередженими значеннями (параметрами) описують …

1) відтворення будь-якого явища всесвіту за допомогою його матеріальної копії;

2) такі характеристики (параметри) природної системи, які не залежать від часу.

3)процес побудови моделі;

4)такі характеристики (параметри) природної системи, які залежать від часу і координати простору;

5)такі характеристики (параметри) природної системи, які залежать тільки від часу.

К розділу 2.

21. Періодична функциональна залежність Y=f(X) може мати вигляд:

1. Y = K*X + B; 2. Y =K/X; 3. Y = N₀Xⁿ ; 4. Y=Sin(X); 5.Y=X*X.

22. Рівняння Міхаеліса-Ментен для швидкості V поїдання субстрату S мікроорганізмами має вигляд:

1. V = 0.5*Vmax; 2. V = K/S; 3. V = N₀Sⁿ ; 4. V=Sin(S); 5.V=Vmax*S/(Km+S).

23. Графік рівняння Міхаеліса-Ментен для швидкості V поїдання субстрату S мікроорганізмами є:

1)парабола; 2)гіпербола; 3)пряма лінія; 4)коло; 5)періодична функція.

К розділу 3.

31. Закон швидкості розмноження популяції без обмежень має вигляд:

1). ; 2) ; 3) ; 4) 5)

32. Динаміка взаємовідносин типу «хижак-жертва» двох видів популяцій опишеться такою системою 2 –х диференціальних рівнянь:

1)

2)

3) 4)

К додатку.

41. Перевірити синтаксис програмного коду програми ПОПУЛЯЦІЯ. Відповідь записати як порядковий номер строки, що містить помилку.

1) Program Populiacija2;

2) var P0, P1, P2, P, r : real; t : integer; const t1 = 10; t2 = 11; N = 100;

3) begin P0 := 10*N; P1 := 100N + 15; r := (ln(P2) – ln(P1))/(t2 – t1);

4) for t := 1 to 9 do begin P := P0 * exp(r*t);

5) writeln (t:4, ‘ | ‘, P:6:2) end;

6) readln; end.

Література

1. Лаврик В. І. Методи математичного моделювання в екології: Навч. посібник. – К.: Видавничий дім «КМ Академія», 2002. ‑ 202 с.

2. Ковальчук П. І. Моделювання і прогнозування стану навколишнього середовища: Навч. посібник. – К.: Либідь, 2003. – 208 с.

3. Кучерявий В. П. Екологія. – Львів: Світ, 2001. – 499 с.

4. Білявський Г.О., Падун М.М., Фурдуй Р.С. Основи загальної екології. – К.: Либідь, 1995. – 308 с.

5. Білявський Г.О., Бутченко Л.І. Основи екології: теорія та практикум. – К.: Лібра, 2004. – 368 с.

6. Жалдак М. I., Рамській Ю. С. Чисельні методи математики. – К.: Радянська школа, 1984. – 208 с.

7. Ковалюк Т. В. Основи програмування. – К.: Видавнича група BHV, 2005. – 384 с.

8. Гринчишин Я.Т. Turbo Pascal.Чисельні методи в фізиці та математиці. Тернопіль, 1994.-121 с.

Диханов Сергій Михайлович

МАТЕМАТИЧНЕ ТА

КОМП’ЮТЕРНЕ

МОДЕЛЮВАННЯ В ЕКОЛОГІЇ