9. Условия коллинеарности и ортогональности двух векторов

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если  , то .

Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Два геометрических вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны друг другу.

10. Смешанное произведение трёх векторов. Ус-е коллинеарности 3х векторов. Объёмы.

Авс=а*(в*с)=(а*в)*с- число.

Ах Ау Аz

АВС= Вх Ву Az

Сх Су Cz

Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости. Геометрически смешанное произведение   есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах  .

11. Системы координат на плоскости, расстояние между двумя точками.

1) Декартова (прямоугольная)на плоскости М(х;у)

2) Полярная сис-ма координат. М ( r; φ) r- расстояние до точки, φ- полярный угол. 0≤φ≤2π

Связь между декартовой и полярной. x= r*cos φ, y=r*sin φ,

tg φ=y, r= корень из (х^2+y^2)

Расстояние d между двумя точками в пространстве определяется формулой

12. Ур-е прямой с угловым коэффицентом. Ус-е пар-ти и перпен-ти двух прямых.

У=kx+в, k= tg альфа- угловой коэ-т. в-отрезок по оси Оу со знаком.

Если tgθ=0, то пр-е параллельны. tgθ=0 когда K1=K2, K2-K1=0- ус-е пар-ти прямых.

необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

 

13. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

=

14. Общее ур-е прямой. Неполные ур-я прямой

где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Если в общем уравнении прямой один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи: 1). С=0; уравнение имеет вид   и определяет прямую, проходящую через начало координат. 2). В=0 (А 0); уравнение имеет вид   и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох. 3). В=0, С=0 (А 0); уравнение может быть записано в виде х=0 и определяет ось ординат. 4). А=0 (В 0); уравнение имеет вид   и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. ). А=0, С=0 (В 0); уравнение может быть записано в виде у=0 и определяет ось абсцисс.

15.Параметрическое ур-е прямой

где   – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,   – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

16. Кривые 2го порядка. Каноническое ур-е эллипса и окр-ти.

Ах^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 Окр-ть- геометрическое место точек равностоящих от точки, называемой центром. Эллипс- геометрич. место точек, для которых их расстояние до фокусов есть величина постоянная.

эллипс где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса.x² + y² = r² окр-ть. (х-х0)^2+(y-y0)^2=R^2- ур-е со смещением центра.