- •1. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.
- •2. Неопределённый интеграл. Определение, таблица.
- •3. Найти косинус угла при вершине с в треугольнике авс, если известны координаты вершин треугольника: а (-1;0;4), в (0;-1;3) и с (1;0;4).
- •4. Вычислить интеграл .
- •1. Обратная матрица. Формула для нахождения обратной матрицы.
- •2. Интегрирование рациональных функций.
- •3. Найти угол между векторами и , если а (1;5;8), в (-3;7;2), с (6;4;-1), точка д является серединой отрезка ав.
- •4. Вычислить .
- •1. Интегрирование тригонометрических функций.
- •2. Вектор-функция. Выражение для кривизны в произвольных координатах.
- •3. Найти обратную матрицу к матрице и сделать проверку.
- •4. Вычислить .
- •1. Необходимое условие существования точек локального экстремума функций.
- •2. Интегрирование иррациональных функций.
- •3. Решить систему методом Крамера.
- •4. Исследовать функцию на непрерывность и сделать чертёж её графика.
- •1. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов в пространстве r2 и r3.
- •2. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •3. Найти , если , и известны координаты векторов и : , .
- •4. Найти асимптоты функции .
- •1. Базис. Координаты вектора.
- •2. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Их связь со второй производной.
- •3. Вычислить .
- •4. Вычислить .
- •1. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
- •2. Теорема о сравнении пределом двух функций.
- •3. Решить систему методом Гаусса.
- •4. Вычислить интеграл .
- •1. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и связь между ними.
- •3. Выполнить действия: .
- •4. Вычислить .
- •1. Скалярное произведение и его свойства.
- •2. Первый замечательный предел.
- •3. . Найти обратную матрицу.
- •1. Евклидово пространство. Длина вектора, угол между векторами.
- •2. Второй замечательный предел.
- •3. Решить систему методом Гаусса.
- •4. Вычислить .
- •1. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •2. Определение производной. Таблица производных.
- •3. Привести уравнение к каноническому виду, определить вид кривой и построить её.
- •4. Зависимость у от х задана параметрически . Найти .
- •1. Виды уравнений прямой на плоскости.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Вычислить координаты вектора , перпендикулярного вектору , если .
- •4. Вычислить .
- •1. Виды уравнений прямой в пространстве. Скрещивающиеся прямые.
- •2. Теорема Коши.
- •3. Выполнить действия .
- •4. Найти точки разрыва, исследовать их характер и построить график функции
- •1. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (без поворотов).
- •2. Свойства определителей n-го порядка.
- •3. Вычислить интеграл .
- •4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .
- •1. Правило Лопиталя.
- •3. Вычислить интеграл .
- •4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
2. Теорема Ролля.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка , a < < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,
f() = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M m.
1. Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за можно принять любую точку интервала.
2. Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим , a < < b точку, в которой f() = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого х ( будем считать, что точка + х находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство:
f() = f( + x) – f() 0
При этом
Но так как по условию производная в точке существует, то существует и предел .
Т.к. и , то можно сделать вывод:
Теорема доказана.
Теорема Ролля имеет несколько следствий:
Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем
f(a) = f(b) = 0, то существует по крайней мере одна точка , a < < b, такая, что f() = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю.
3. Вычислить координаты вектора , перпендикулярного вектору , если .
Воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
Так как векторы перпендикулярны, то . Получим систему уравнений:
4. Вычислить .
БИЛЕТ № 19.
1. Виды уравнений прямой в пространстве. Скрещивающиеся прямые.
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.
Т.к. плоскость в векторной форме может быть задана уравнением: + D = 0, где
- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.
Пусть в пространстве заданы две плоскости: + D1 = 0 и + D2 = 0, векторы нормали имеют координаты: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z).
Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:
Общие уравнения прямой в координатной форме:
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду. Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p. При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.
1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z).
z
M1
M0
0 y
x
Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что - = . Т.к. векторы и коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр. Итого, можно записать: = + t. Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой. Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:
Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:
.
Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:
; .
Отсюда получим: m : n : p = cos : cos : cos.
Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.
2. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:
.
Кроме того, для точки М1 можно записать:
.
Решая совместно эти уравнения, получим:
.
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.