БИЛЕТ № 1.

1. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.

Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij  b_ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =А  В

А() = А  А

Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: AB = C; .

Из определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц:

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O; OA = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

2. Неопределённый интеграл. Определение, таблица.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Интеграл		Значение	Интеграл		Значение
1		-lncosx+C	9			ex + C
2		lnsinx+ C	10			sinx + C
3			11			-cosx + C
4			12			tgx + C
5			13			-ctgx + C
6		ln	14			arcsin + C
7			15
8			16

3. Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А (2;-5) и В (4;7). Лежит ли точка С (0;17) на прямой АВ? Ответ обосновать.

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки – А и В:

Проверка точка С:

Точка С не лежит на прямой АВ.

4. Вычислить интеграл .

БИЛЕТ № 2.

1. Вычисление определителей второго, третьего и n-го порядка.

Определитель второго порядка:

Определитель третьего порядка:

Определитель n-го порядка:

где M_1j — определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием

первой строки и j-го столбца.

2. Вектор-функция. Интегрирование. Натуральный параметр.

Пусть каждому значению поставлен в соответствие вектор трехмерного пространства. В этом случае говорят, что на множестве D задана векторная функция.

Если в пространстве задана декартова система координат, то задание вектор-функции означает задание скалярных функций x (t), y (t), z (t). Если – единичные векторы координатных осей, то .

Для вектор-функции , заданной на отрезке можно составить интегральные суммы и рассмотреть их предел при стремлении к нулю максимальной длины отрезков, на которые разбит отрезок [a;b]. Этот предел будет называться интегралом от по отрезку [a;b] и обозначаться . Этот предел существует только если непрерывна на отрезке [a;b]. На интегралы от вектор-функций распространяются обычные свойства интегралов от скалярных функций.

Вектор-функции широко используются в физике. Так, скорость , ускорение , сила напряженности электрического и магнитного полей и плотность тока являются векторными функциями координат.