Дискретні вимірювання та розподіл Пуассона

Розглянемо лічильник з одиничною поверхнею, що реєструє космічні частинки за певний проміжок часу . Кількість частинок n, зареєстрованих лічильником, завжди буде цілим (дискретним) числом, а інтенсивність І=n/ узагалі кажучи, є дробовим числом. Статистичні закономірності в цих вимірюваннях мають певні особливості. Розглянемо їх.

Визначимо експериментальну ймовірність Р_ехр того, що при заданій інтенсивності І лічильник за час  спрацює n разів. Візьмемо для цього N однакових лічильників. За час  деяка частина  цих лічильників зафіксує n спрацювань, тобто зафіксує проходження через нього n частинок радіоактивного фону. За визначенням шукана ймовірність Р реєстрації лічильниками n частинок визначається так

. (4)

Можна визначити, що теоретичне значення ймовірності Р_теор того, що при середньому числі реєстрованих частинок за час ( взагалі не ціле число) реєстрація N лічильниками n частинок становитиме

, (5)

де факторіал цілого числа n.***

Представлена формула має назву закону розподілу Пуассона. Загальне тлумачення цієї формули таке. Якщо результати деяких вимірювань є дискретними (наприклад,число зареєстрованих лічильником частинок радіоактивного фону, або число замовлень або число з'єднань телефонної станції, або щось інше), тобто цілими числами, то при середньому значенні результатів вимірювань ймовірність появи вимірювання зі значенням n визначається розподілом Пуассона. Основною властивістю розподілу Пуассона є рівність дисперсії ² середньому значенню

.

Неперервні вимірювання та розподіл Гауса

Розподіл Гауса є граничним випадком розподілу Пуассона, коли середнє значення числа зареєстрованих лічильником частинок радіоактивного фону та їх число n досить великі числа, так, що n змінюється практично неперервно. Формула розподілу Гауса має вигляд

. (6)

Замінивши в одержаному виразі на х та вважаючи, що для розподілу Пуассона виконується умова , отримаємо

. (7)

Розподіл (7) визначає ймовірність того, що величина х буде знаходиться в одиничному інтервалі, що оточує точку х. Для нескінченно малого інтервалу dx (замість одиничного) така ймовірність пропорційна dx

. (8)

Формула (8) визначає ймовірність того, що для х буде знайдено значення, яке знаходиться в межах між x-dx/2 і x+dx/2. Величина Р_теор,G(x) називається густиною ймовірності.

За допомогою (8) можна знайти ймовірність того, що х знаходиться в межах

-  х  

. (9)

а для проміжку -2  х  2

. (10)

У виразах (9) і (10) функція erf(x) називається інтегралом імовірності і вона має вигляд

. (11)

Хід виконання роботи

1. Ознайомитися згідно інструкції з порядком роботи з лічильним приладом та провести перевірку його роботи. Частота електричної мережі становить 50 Гц. За 60 с очікуване число імпульсів від мережі складе 5060=3000, із відносною похибкою 1%, тобто число імпульсів складає 300030. Якщо перелічний прилад за 5 вимірювань дасть приведений результат, то робимо висновок, що прилад працює вірно.