3. Силы, действующие на заряд в электрическом и магнитном

полях

а) Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле

F = q E,

где q − заряд частицы; E − вектор напряженности электрического поля.

б) Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу, движущуюся в

в магнитном поле

Fл = q [ vB ], Fл = qvB sin α,

где q − заряд частицы ; v − вектор скорости частицы; B − вектор индукции

магнитного поля; α − угол между векторами v и B.

4. Принцип суперпозиции сил

Если к телу (материальной точке) приложено несколько сил, то результи-

рующая сила, действующая на тело, находится их геометрическим сложением

n

F = ∑ Fi .

i=1

5. Динамика материальной точки, движущейся по окружности

Уравнение динамики материальной точки, движущейся по окружности, в

проекциях

Fτ = maτ = m dv/dt; Fn = man = mv²/ R = mω²R,

где индексом τ помечена проекция на касательную, проведенную к траектории

движения точки (см. рис.1), а индексом n −проекция на нормаль, восстановлен-

ную в этой же точке; m − масса тело; аτ − тангенциальное ускорение; an − нор-

мальное ускорение; v − модуль линейной скорости; R − радиус окружности; ω −

угловая скорость движения точки.

6. Импульс тела. Закон сохранения импульса

Если тела (части, частицы) механической системы взаимодействуют между

собой с силами, векторная сумма которых равна нулю, а на механическую систе-

му не действуют внешние силы, либо их действие скомпенсировано(уловие замк-

нутости системы), то суммарный импульс системы при таких взаимодействиях

остается неизменным n n

∑ pi = const или ∑ mi vi = const,

i=1 i=1

где n − количество частиц системы. При взаимодействии двух тел ( n=2 ) для аб-

21

солютно упругого соударения закон принимает вид

m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2

где m1, m2 − массы частиц; v1, v2 − их скорости до взаимодействия; u1,u2− их

скорости после взаимодействия.

Координаты центра масс системы материальных точек

х с = ∑m i xi / ∑ m i , y c = ∑mi yi / ∑mi , zi = ∑mi zi / ∑mi .

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. В чем заключается основная задача ньютоновской механики?

2. Определение силы F и массы m. Характерные свойства этих физических

величин. В каких единицах они измеряются ?

3. Как строятся системы единиц в механике? Какова роль формул размерности?

4. Сформулируйте законы Ньютона. Какие утверждения содержат эти законы ?

Какова их взаимосвязь? Дайте определения понятий “инерция” и “инертность”.

5. Какие следствия вытекают из второго закона Ньютона? Дайте определения

импульса p и кинетической энергии Ек материальной точки.

6. Спроецировав уравнение динамики материальной m a = F, а также второй

закон Ньютона в общем виде dp /dt = F на оси х, у, z декартовой системы ко-

ординат, получите три эквивалентных им дифференциальных уравнения.

7. В чем заключается принцип суперпозиции сил?

8. Какие системы отсчета называются инерциальными и неинерциальными?

9. Назовите четыре типа фундаментальных взаимодействий. Какие силы рассма-

триваются в рамках ньютоновской механики?

10. Как определяется работа переменной силы?

11. Найдите связь между потенциальной силой и потенциальной энергией мате-

риальной точки, используя понятие оператора “набла”.

12. Каковы границы применимости законов ньютоновской механики?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. К концам однородного стержня приложены две противопо-

ложно направленные силы: F1 = 40 H и F2 = 100 H (рис.6, а).

а) б)

Рис. 6

Определить силу натяжения Т стержня в поперечном сечении, которое делит

стержень на две части в отношении 1: 2.

Р е ш е н и е. Если бы силы F1 и F2 были бы равны между собой, то сила на-

тяжения в любом сечении была бы одинаковой и равна силам, приложенным к

концам стержня. Стержень в этом случае находился бы в покое. Но так как сум-

ма сил, действующих на стержень, отлична от нуля, то стержень будет двигать

ся с ускорением, величина и направление которого определяются по второму за-

22

кону Ньютона: a = (F1 + F2) /m , где m – масса стержня. Так как обе силы дейст-

вуют вдоль прямой, то геометрическую сумму можно заменить алгебраической:

a = ( F1 – F2) / m.

При ускоренном движении стержня силы натяжения в разных сечениях различ-

ны. Для определения этих сил применим следующий приём: разделим стержень на

две части в интересующем нас сечении и отбросим одну из них, например, левую.

действие левой части на правую заменим силой натяжения Т ( рис.6, б). В резуль-

тате действия разности сил F2 − T оставшаяся правая часть стержня массой m1 до-

лжна двигаться с ускорением а = (F2 – T)/m1, равным по величине и направлениию

прежнему ускорению, определенному выше. Так как стержень однородный, то

m1 = m /3 и, следовательно,

а = (F2 – T ) /( m/3).

Приравнивая правые части обоих равенств и выражая из полученного равенст-

ва силу натяжения Т, находим

T = F2 – ( F2 – F1)/ 3.

Подставив значения F2 и F1, получим Т = 80 Н.

Ответ: T = 80 Н.

Пример 2. Через блок, укрепленный на конце стола, перекинута нерастяжимая

нить, к концам которой прикреплены грузы, один из которых (m1 = 400 г) движет-

ся по повехности стола, а другой ( m2 = 600 г ) − вдоль вертикали вниз. Коэффици-

ент μ трения груза о стол равен 0.1. Считая нить и блок невесомыми, определить:

1) ускорение а, с которым движутся грузы; 2) силу натяжения Т нити.

Д а н о: m1 = 400 г = 0.4 кг, m2 = 600 г = 0.6 кг, μ = 0.1.

О п р е д е л и т ь: 1) a; 2) T.

Р е ш е н и е. Выбрав оси координат( рис. 7), запишем для каждого груза урав-

нения движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эти оси:

m1 a = T – Fтр,

m2 a = m2 g – T .

Учитывая, что Fтр = μ m1 g, получим систему уравнений

m1a = T – μ m1g,

m2a = m2g – T,

откуда искомое ускорение

a = (m2 – μm2) g /(m1 + m2).

Рис.7

Силу натяжения нити найдём из второго уравнения системы:

T = m2 (g – a ).

Вычисляя, получим: 1) a = 5.49 м/c²; 2) T = 2.59 H.

23

Пример 3. Ракета с начальной массой M = 500 г выбрасывает непрерывную

струю газов с постоянной относительно неё скоростью u = 400 м/c. Расход газа

μ = 150 г/c. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, оп-

ределить, какую скорость относительно Земли приобретает ракета через время t

= 2 c после начала движения, если её начальная скорость равна нулю?

Д а н о: М = 500 г = 0.5 кг, u = 400 м/c, μ = 150 г/c = 0.15 кг/c, t = 2c, vo = 0.

О п р е д е л и т ь v.

Р е ш е н и е. Из условия задачи следует, что внешние силы отсутствуют, по-

этому импульс системы тел ракета − выбрасываемый газ остается постоянным.

начальная скорость ракеты равна нулю, поэтому движение ракеты будет прямо-

линейным. Направив ось х по скорости ракеты v, в проекциях на эту ось можем

записать

( M − μ t ) dv − μ u dt = 0,

где dv − изменение скорости ракеты (за счёт реактивного действия выбрасывае-

мой струи газа) за промежуток времени dt. Отсюд

dv = [ μ u/(M – μ t) ]

Скорость v как функцию времени найдем интегрируя последнее выражение

в пределах от 0 до t. При t = 0 v = 0; следовательно,

t

v = u ∫ μ dt /(M – μ t ) ,

o

откуда

v = u ln( M/ M- μ t ).

Вычисляя, получаем v = 366 м/c.

Пример 4. При падении тела с большой высоты его скорость vуст при

установившемся движении достигает 80 м/c. Определить время τ, в течение

которого начиная от момента начала падения скорость становится равной по-

ловине vуст. Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорос-

ти тела.

Р е ш е н и е. На падающее тело действуют две силы ( рис. 8, а ): сила тя-

Жести mg и сила сопротивления воздуха Fc .

Fc = − k v

а) б)

Рис. 8

Сила сопротивления воздуха по условиям задачи пропорциональна скоро-

ти тела и противоположна ей по направлению:

24

Fc = −kv ,

где k − коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела

и от свойств окружающей среды.

Напишем уравнение движения тела в соответствии со вторым законом Ньюто-

На в векторной форме: m dv /dt = mg + Fc . Заменив Fc на − k v , получим

m dv/dt = mg − kv.

Спроецируем все векторные величины на вертикально направленную ось и напи-

равнение движения для проекций:

m dv/ dt = mg – kv .

После разделения переменных получим

dv / (mg – kv) = dt / m .

Выполним интегрирование, учитывая, что при изменении времени от нуля до τ

( искомое время ) скорость возрастает от нуля до ½ vуст ( рис. 8, б ):

½ vуст τ 1/2vуст

∫ dv / (mg – kv ) = ∫ dt/m , − (1/2) | ln( mg- kv ) | = τ / m .

o o o

Подставим пределы интегрирования в левую часть равенства:

− ( 1/k )[ ln ( mg – ½ k vуст ) / mg ] = τ /m

и найдем из полученного выражения искомое время:

τ = ( m / k )[ ln ( mg / ( mg – 1/2k vуст )].

Входящий сюда коэффициент пропорциональности k определим из следу-

ющих соображений. При установившемся движении ( скорость постоянна ) ал-

гебраическая сумма проекций (на ось у) сил, действующих на тело, равна нулю,

т.е. mg – k vуст = 0, откуда k = mg/vуст. Подставим найденное значение k в фор-

мулу для τ :

τ = ( mvуст / mg ){ ln [ mg /( mg – ½ mg vуст /v)]}.

После сокращений и упрощений получим

τ = ( vуст /g ) ln 2.

Проверка размерности в данном случае не обязательна, так как результат оче-

Виден. Подставив в эту формулу значение vуст, g, ln 2 и произведя вычисления,

Получим τ = 5.66 с.

Пример 5. Вода течет по трубе диаметром d = 0.2 м, расположенной в гори-

зонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом R = 20.0 м. Найти боко-

вое давление воды p, вызванное движением воды по закруглению. Через попе-

речное сечение трубы за единицу времени протекает масса воды m t = 300 т/ч.

Р е ш е н и е. Во вращающейся системе отсчета, относительно которой вода

В закруглении неподвижна, на стенку трубы действует боковое давление

25

p = F/ ld ,

где F − центробежная сила инерции, l − длина той части трубы, на которую

производится давление. Далее,

F = m v²/ R,

где

m = ρlS

− масса воды в объеме Sl ( S − площадь поперечного сечения трубы, ρ −

плотность воды). Скорость течения воды

v = m t / ρS.

После соответствующих преобразований получим для искомого давления

p = m²t / RρdS = 56.0 Па.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(В.2.14) Тело массой m = 0.5 кг движется так, что зависимость прой-

денного телом пути s от времени t дается уравнением s= A sinωt, где А = 5 см

и ω= π рад /c. Найти силу F, действующую на тело через время t = (1/6) c пос-

ле начала движения.

Ответ: F = 0.123 H.

-26

2.(B.2.15) Молекула массой m = 4.65∙10 кг, летящая по нормали к

стенке сосуда со скоростью v = 600 v /c, ударяется о стенку и упруго отска-

кивает от неё без потери скорости. Найти импульс, полученный стенкой за

время удара.

Ответ: 5.6 ∙10ˉ²³ H∙c.

3.(B.2.18) Струя воды сечением S = 6.00 см² ударяется о стенку под уг-

лом α = 60º к нормали и упруго отскакивает от неё без потери скорости. Най-

ти силу F , действующую на стенку, если известно, что скорость течения во-

ды в струе v = 12 м/c.

Ответ: F = 86 H.

4.(B.2.32) Невесомый блок укреплен в вершине наклонной плоскости,

образующей с горизонтом угол α = 30º. Гири 1 и 2 одинаковой массы m1= m2=

= 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение а, с кото-

рым движутся гири, и силу натяжения нити T. Трением гири 2 о наклонную

плоскость и трением в блоке пренебречь.

Ответ: a =[ (m1 – m2 sin α )/(m1 + m2)] g= 2.45 м /c²;

Т1 = Т2 = [m1 m2( 1 + sin α) / ( m1 + m2 )] g

5.(B.2.33) Решить предыдущую задачу при условии, что коэффициент

трения гири 2 о наклонную плоскость μ = 0.1 .

Ответ: a ={[m1 − m2(sinα + μ cosα)]/ (m1 + m2)} g;

T1 = T2 = m1 m2 [1 + ( sinα + μcosα] g / (m1 + m2 ) = 7.77 H.

6.(B.2.92) Гирька, привязанная к нити длиной l = 30 см, описывает в 26

горизонтальной плоскости окружность радиусом R=15 см. C какой частотой

n вращается гирька ?

Ответ: n = 59 об/мин.

7.(В.2.96) Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью v=

= 72 км/ ч, делая поворот радиусом R = 100 м. На какой угол α при этом он

должен наклониться, чтобы не упасть на повороте?

Ответ: α = 22º.

8.(B.2.99) Шоссе имеет вираж с уклоном α = 10º при радиусе закругле-

ния дороги R = 100 м. На какую скорость v рассчитан вираж?

Ответ: v = 47 км/ч.

9.(B.2.104) Груз массой m = 150 кг подвешен на стальной проволоке,

выдерживающий силу натяжения Т = 2.94 кН. На какой наибольший угол α

можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохож-

дении грузом положения равновесия?

Ответ: α = 60º.

10.(B.2.107) Вода течет по каналу шириной b = 0.5 м, расположенному

в горизонтальной плоскости и имеющему закругление радиусом R = 10 м. Ско-

рость течения воды v = 5 м /c. Найти боковое давление воды p, вызванное

движением по закруглению.

Ответ: p = 1.25 кПа.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ В

1.(B.2.12) Тело массой m = 0.5 кг движется прямолинейно, причем за-

висимость пути s от времени t дается уравнением s = A – Bt + Ct² − Dt³,

где С = 5 м/c² и D = 1 м /c³. Найти силу F, действующую на тело в конце пер-

вой секунды движения.

Ответ: F = m(2C – 6Dt) = 2 H.

2.(Т.1.56) С вершины клина, длина которого l = 2 м и высота h = 1 м,

начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и кли-

ном μ= 0.15. Определить: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время

прохождения тела вдоль клина; 3) Скорость тела у основания клина.

Ответ: 1) 3.63 м /c²; 2) 1.05 c; 3) 3.81 м /c.

3.(T.1.65) Лодка массой М = 150 кг и длиной l = 2.8 м стоит неподви-

жно в стоячей воде. Рыбак массой m = 90 кг в лодке переходит с носа на кор-

му. Пренебрегая сопротивлением воды, определить, на какое расстояние s при

этом сдвинется лодка.

Ответ: s = 1.05 м.

4.(Т.1.71) Определить положение центра масс системы, состоящей из че-

27

Рис.9

тырёх шаров, массы которых равны соответственно m , 2m, 3m и 4m, в следу-

ющих случаях (рис.9): a) шары расположены на одной прямой ( вдоль оси х);

б) шары расположены по вершинам квадрата в плоскости хоу; в) шары распо-

ложены по четырем смежным вершинам куба. Во всех случаях расстояние меж-

ду соседними шарами равно 15 см. Направление координатных осей показано

на рисунке.

Ответ: a) xc = 30 см; б) хс = 7.5 см, ус = 4.5 см ;

в) хс = 1.5 см, yc = 4.5 см, zc = 3 см.

5.(T.1.66) Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью vo, разрывается на

на два одинаковых осколка в верхней точке траектории на расстоянии l (по го-

ризонтали). Один из осколков полетел в обратном направлении со скоростью

движения снаряда до разрыва.Пренебрегая сопротивлением воздуха,определить,

на каком расстоянии s (по горизонтали) от орудия упадет второй осколок.

Ответ: s = 4 l.

6.(Ч.2.26) Струя воды ударяется о неподвижную плоскость, поставленную

под углом φ= 60º к направлению движения струи. Скорость v равна 20 м /c,

площадь S её поперечного сечения равна 5 см². Определить силу F давления

струи на плоскость. Плотность воды равна ρ.

Ответ: F = 2ρS v²sinφ = 346 H

7.(Ч.2.38) На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса

платформы с орудием M = 15 т. Орудие стреляет вверх под углом φ = 60º к

горизонту в направлении пути. С какой скоростью v1 покатится платформа

вследствие отдачи, если масса снаряда m = 20 кг и он вылетает со скоростью

v2 = 600 м /c?

Ответ: v1 = 0.4 м /c.

8.(Ч.2.42) Диск радиусом R = 40 см вращается вокруг вертикальной оси.

На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения μ = 0.4, найти

частоту n вращения, при которой кубик соскользнёт с диска.

Ответ: n = 0.5 c־¹.

9.(Ч.2.56) Тонкое однородное медное кольцо радиусом R = 10 см враща-

ется относительно оси, проходящей через центр кольца, с угловой скоростью

ω = 10 рад /с. Определить нормальное напряжение σ, возникающее в кольце,

если ось вращения перпендикулярна плоскости кольца.

Ответ: σ = ρω²R²; σ = 8.9 кН / м².

10.(В.2.131) Найти первую космическую скорость v1, т.е. скорость, ко-

торую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно начало двигаться

вокруг Земли по круговой орбите в качестве её спутника.

Ответ: v1 = √ gR = 7,9 км /c. 28

11.(B.2.139) Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите

в плоскости экватора с запада на восток. На какой высоте h от поверхности Зем-

ли должен находиться этот спутник, чтобы он был неподвижен по отношению к

наблюдателю, который находится на экваторе Земли.

Ответ: h = 35800 км.

12. Определить жесткость системы двух пружин при: а) последовательном

и б) параллельном их соединении. Жесткость пружин k1 = 3 кН /м и k2 = 4 кН/м.

Ответ: a) kпос = k1 k2 /(k1 + k2) = 1.71 кН /м;

б) kпар = k1 + k2 = 7 кН /м.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1.(С.1.54) Чтобы определить коэффициент трения μ между деревян-

ными поверхностями, брусок положили на доску и стали поднимать один конец

доски до тех пор, пока брусок не начал по ней скользить. Это произошло при

угле наклона доски αo = 14º. Чему равен μ ? Найдите зависимость силы трения

Fтр от угла наклона α доски и постройте график этой зависимости.

Ответ: μ = tgαo = 0.25. Для 0 < α < αo Fтр = Fтр покоя = mg sinα ;

Для αо < α < π /2 Fтр = Fтр скольж = μ mg cos α.

2.(И.1.59) Частица движется вдоль оси х по закону х = α t² − β t³, где α

и β − положительные постоянные. В момент времени t = 0 сила, действующая

на частицу, равна Fo. Найти значения Fx в точках поворота и в момент, когда

частица опять окажется в точке х = 0.

Ответ: Соответственно −Fo и − 2 Fo .

3.(И.1.65) В установке (рис.10) известны угол α и коэффициент трения μ между телом m1 и наклонной плоскостью. Масса блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Вначале оба тела неподвижны. Найти отношение масс m2 / m1, при котором тело m2 начнет:

а) опускаться; б) подниматься.

Рис. 10

Ответ: а) m2 / m1 > sinα + μ cosα ;

б) m2 / m1 < sinα − μ cosα .

4.(И.1.60) Найти модуль и направление силы, действующей на частицу

масcы m при её движении в плоскости ху по закону х = А sin ωt, у = В cosωt,

где А, В, ω− постоянные.

Ответ: F = − mω²r, где r− радиус-вектор частицы относительно начала

координат; F = mω²√ x² + y².

5.(И.1.67) На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m1

и на ней брусок массы m2. К бруску приложили горизонтальную силу, уве-

личивающуюся со временем t по закону F = α t, где α − постоянная. Най-

ти зависимости от t ускорений доски а1 и бруска a2, если коэффициент 29

трения между доской и бруском равен μ . Изобразить примерные графики

этих зависимостей.

Ответ: При t ≤ to ускорения а1 = а2 = α t /( m1 + m2); при t ≥ to a1=

= μgm2 / m1, a2 = (α t − μ m2 g )/ m2. Здесь to = μgm2(m1 + m2)/αm1

6.(И.1.80) Тело массы m бросили под углом к горизонту с начальной

скоростью vo. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) приращение

импульса тела за первые t секунд движения; б) модуль приращения импуль-

са тела за все время движения.

Ответ: a) Δp = m g t; б) | Δp | = − 2m ( vo g ) / g.

7.(И.1.81) На покоившуюся частицу массы m в момент t = 0 начала

действовать сила, зависящая от времени по закону F = b t(τ −t), где b − по-

стоянный вектор, τ − время, в течение которого действует данная сила. Най-

ти: а) импульс частицы после окончания действия силы; б) путь, пройден-

ный частицей за время действия силы.

Ответ: а) p = bτ³/6; б) s = bτ^ /12m .

8.(И.1.85) Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скорость

от vo до v. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления

пропорциональной квадрату скорости.

Ответ: t = h( vo−v) / vov ln(vo/v).

9.(И.1.87) На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения μ ле-

жит тело массы m . В момент времени t = 0 к нему приложили горизонталь-

ную силу, зависящую от времени как F = b t, где b − постоянный вектор.

Найти путь s, пройденный телом за первые t секунд действия этой силы.

Ответ: s = b( t − to )³/6m , где to = μmg /b − момент времени, с которого

начнется движение. При t ≤ to путь s =0.

10.(И.1.90) Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной пло-

скости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по мо-

дулю друг другу. Найти угол φ отклонения нити в крайнем положении.

Ответ: tg(φ/2) = ½, φ ≈ 53º .

Рис.11

11.(И.1.103) Муфточка А может свободно скользить вдоль гладкого сте-

ржня, изогнутого в форме полукольца радиуса R (рис. 11). Систему привели

во вращение с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси ОО'.

Найти угол φ, соответствующий устойчивому положению муфточки.

Ответ: Если ω²R > g, то имеются два положения равновесия: φ1 = 0 и

φ2 = arcos(g/ω²R). Если ω²R < g, то положение равновесия только 30

φ1 = 0. Пока существует одно нижнее положение равновесия, оно устойчиво.

При появлении же второго положения равновесия (оно всегда устойчиво) ниж-

нее положение становится неустойчивым.

12. Скорость частицы массой m, движущееся в плоскости ху, изменя-

ется по закону v = А t i + B t²j , где А и В − постоянные. Найти зависимость

модуля результирующей силы, действующей на частицу, от времени.

Ответ: F = m √ A² + 4B²t² .

Занятие 3. Работа. Энергия. Законы сохранения

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ

1. Работа постоянной и переменной силы. Мощность.

2. Связь изменения кинетической энергии с работой.

3. Потенциальная энергия и её проявления.

4. Связь потенциальной силы с потенциальной энергией.

5. Закон сохранения механической энергии.

6. Соударения.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ