Тема 9. Дифференциальные уравнения

Определение Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, её производную (или дифференциал аргумента) и дифференциал функции.

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Общий вид такого уравнения

, где – искомая неизвестная функция, – её производная по , F – заданная функция переменных .

Определение Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(х,c) от x и произвольной постоянной С, обращающая это выражение в тождество по .

Определение Частным решением уравнения F(x,y,y^')=0 называется решение полученное из общего решения при фиксированном значении С: у= φ(х,С₀), где С₀ – фиксированное число.

Виды дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменным. Общий вид такого уравнения: , где Х(х), Х₁(х) – функции только от х, Y(y), Y₁(y) – функции только от у.

Поделив обе части уравнения на произведение Х₁(х)·Y(у) ≠ 0, получим уравнение с разделенными переменными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид такого уравнения где f(x) и q(x) – заданные функции от х. Это уравнение является линейным относительно искомой функции и её производной.

Если q(x) = 0, то линейное дифференциальное уравнение называется однородным.

Оно имеет вид у^/ = f (x)∙y и решается методом разделения переменных:

Если = 0, то уравнение (1) принимает вид у^/ = q(x) и решается методом разделения переменных:

, , где Q(x)  – некоторая первообразная функции;

q(х); C – произвольная постоянная.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общий вид такого уравнения: где р и q – некоторые числа.

Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если f(x) = 0, то дифференциальное уравнение называется линейным однородным.

При решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка возможны три случая решения характеристического уравнения.

Таблица

Частные и общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка

№	Корни уравнения	Частные решения	Общее решение
1	Действительные различные (к1 ≠ к2)		y =
2	Действительные равные (к1 = к2)		y =
3	Комплексно-сопряженные (α βi)

Тема 10. Элементы теории вероятностей и математическая статистика Случайные события

Определение Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Определение (Классическое определение вероятности): Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, то есть Р(А) = m/n.