Тема 4. Производная

Определение Производной функции в точке (обозначается или ) называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при , если этот предел существует:

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций.

Основные правила дифференцирования

1. 

2.  ( – постоянная)

3. 

4. 

5. Производная сложной функции: если , то , где производные функций в правой части равенства берутся по аргументам и соответственно.

Таблица производных наиболее часто используемых функций

1.  ( – постоянная)

2. 

3. 

4.  ( – постоянная)

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

Определение Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции: , при y > 0. Нахождение производных от многих функций значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. При этом логарифмическую производную применяют формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при y > 0.

Определение Функция y(x) называется неявной, если зависимость между х и у выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно у.

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно производной

Тема 5. Исследование функции и построение графика

Определение Внутренняя точка интервала называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство ( ). Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.

Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции:

Если ( ) в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале. Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:

1. Найти область определения функции;

2. Найти производную функции;

3. Приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;

4. Определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.

Необходимое условие экстремума функции:

Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .

Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, на­зывают точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.

Достаточные условия экстремума функции:

Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.

Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки .

Определение График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала.

Определение График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции:

Если в интервале , то график функции является выпуклым в этом интервале; если же , то в интервале график функции вогнутый.

Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Если ─ абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых или не существует, называются критическими точками второго рода.

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.

Определение Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х,у) на кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если:

или

Прямая является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x), если существует или

Прямая является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы:

или

При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана:

1. Найти область определения функции.

2. Определить четность (нечетность), периодичность функции.

3. Найти точки разрыва.

4. Определить точки пересечения графика с осями координат.

5. Найти точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.

6. Определить интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.

8. Определить асимптоты.

9. Найти предельные значения функции при аргументе, стремящемся к границам области определения.