12. Примеры функциональных пространств
Функциональное
пространство, совокупность
функций с определённым для них тем или
иным способом понятием расстояния или,
более общо, близости. Функциональное
пространство,
содержащее вместе с каждыми двумя
элементами f1 и f2 все их
линейные комбинации af1 + bf2, где a и b —
действительные или комплексные числа,
называемые линейным Функциональным
пространством. Примером
линейного Функционального
пространства является
пространство С (a, b) всех
непрерывных функций на некотором отрезке
[а, b] с расстоянием r(f1, f2) между
двумя функциями, определяемым
формулой
.
Важнейшие конкретные линейные
пространства, рассматриваемые
в функциональном
анализе, являются Функциональными
пространствами:
Линейное,
или векторное
пространство 
над полем P —
это непустое
множество L,
на котором введены операции
-
сложения, то есть каждой паре элементов
множества 
ставится
в соответствие элемент того же множества,
обозначаемый 
и
-
умножения на скаляр (то
есть элемент поля P),
то есть любому элементу 
и
любому элементу 
ставится
в соответствие единственный элемент
из
,
обозначаемый 
.
Евклидово
пространство - Метрическое
пространство, которое
является конечномерным векторным
пространством 
над
полем вещественных
чисел с евклидовой
метрикой, введённой по формуле:
,
где 
и 
,
то есть с функцией расстояния, порождаемой
описанной выше нормой.
Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность. Гильбертово пространство есть банахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением.
Свойства
Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства H среди прочих банаховых пространств, является тождество параллелограмма:
Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
Аналогично, если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
(поляризационное
тождество).