16. История теоремы Пифагора.

Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. с² = a² + b².

Название говорит, что теорему приписывают Пифагору. Теперь известно, что её знали задолго до Пифагора. За 12 в. в Др. Вавилоне, за 22в. в Др. Китае. Возможно Пифагор узнал эту теорему, путешествуя по Др. Египту и Др. Вавилону, а может быть в Милетской школе Фалеса. Однако есть свидетельство в пользу того, что она доказана впервые в школе Пифагора.

Существует легенда, что в честь посетившей его идеи, Пифагор принёс в жертву богам 100 быков. И ходит анекдот, что с той поры все скоты не любят математику. Док-во Пифагора не сохранилось, но к настоящему времени известно огромное число док-в.

Один из античных исследователей математики утверждает, что док-во самого Пифагора основано на идее подобия треугольников.

1). Док-во, основанное на идее подобия.

1). АСН  АВС

АН/АС = АС/АВ => АС² = АВАН

2 ).СНВАВС => H B/CB = CB/AB => CB²=ABHB

AC² + BC² = ABAH + ABHB = AB(AH + HB) = AB²

AB² = AC² + BC² ч.т.д.

2 ). Док-во Евклида.

Доп. построения:

1. [MB), [KC)

2. (CE)  (KD)

Док-во:

1). Рассмотрим АМВ и АСК:

МА = АС, АВ = АК, МАВ = КАС =  + 90⁰

Следовательно, АМВ = АCK по 2 сторонам и углу м/у ними.

2). Имееv: S_АМВ = S_АCK

Следовательно, 1/2b² = 1/2AKKE => b² = S_KALE

Аналогично, S_LBDE = a². Тогда, c² = a² + b²

3). Док-во, основанное на алгебраических док-вах:

- Школьное док-во.

- Док-во Агарья Бкаскара (Индия, XIIв.)

Доп. построения:

1. ABDE - квадрат

2. АК  ВС

3. ES  DK

Имеем АТ  ES

Док-во:

1). АВС = BKD = ESD = ATE (по гипотенузе и острым углам)

2). S_ABDE = S_CKST + 4S_ABC

c² = (a – b)² + 41/2ab

c² = a² – 2ab + b² + 41/2ab

c² = a² + b² ч.т.д.

- Построение: АВ = а, ВС = b, AK  AB, AK = b, CN  BC, CN = a,

A KNC – трапеция, [KB], [NB]

Док-во:

1). AKB = BNC => KB = NB = с

2). KBN – прямоуг, т.к. KBN=180⁰-(+)=90⁰

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c² ч.т.д.

20. Построение правильного пятиугольника в «Началах» Евклида.

П редложение 11. Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключённый между целой и одним из отрезков был равен квадрату на оставшемся отрезке.

Построение:

1. ABDM - квадрат

2. Е: АЕ = EM

3. [EB]

4. I: I[MA], EI = EB

5. C: C[AB), AC = AI

C – золотое сечение. АС² = АВВС

П редложение 2. В данный круг вписать треугольник, равноугольный данному треугольнику.

Построение:

1. А – произвольная точка

2. HG: HG – касат., АHG

3. CAG = DEI

BAH = DIE

4. [BC]

5. ABH – искомый.

П остроение золотого треугольника – равнобедренный треугольник, углы при основании которого в 2 раза больше угла при вершине.

Построение:

1. [AB]

2. C: C[AB], C – золотое сечение.

АС² = АВВС

3. S: S(A, AB)

4. [BD], D  S, AC = BD

5. [AD]

ABD – золотой.

Док-во:

Доп. Построения:

1). [CD], 2). S₁: S₁(A, CD)

1). АС² = АВВС и AC = BD (по построению) => ABBC = BD² => BD – касательная. (по теореме обратной предложению: если ВА – секущая, BD – касательная, то ABBC = BD²).

2). BDC = , CDA = 

DCB – внешний для ACD => DCB =  + 

Т.к. AВD равнобедренный, то AВD = ADB =  + 

Следовательно, СВD – равнобедренный, СD = BD.

3). Имеем СD = BD и BD = АС => AC = CD => ACD – равнобедренный => =

4). Имеем в AВD: A = , B =D =2 => AВD – золотой.

П остроение правильного пятиугольника.

1. АВС  HGI

2. AE и CD – биссектриса  А и С

3. ADBEC – правильный пятиугольник.

Док-во:

1. AB = BC, A=C=2, B = 

2. AE и CD – биссектриса  А и С.

Дуги равны, т.к. опираются на равные углы => ADBEC – равносторонний

3. Любой из углов опирается на дугу, состоящую из 3-х равных дуг => пятиугольник правильный.

30 Число. (Древний Китай) О собенностью китайской геометрии является стремление вычислить как можно более точно отношение длины окружности к диаметру, то есть, число . А строном и философ Чжан Хен (II в до н.э.) нашел, что «квадрат длины окружности относится к квадрату периметра описанного около него квадрата как 5:8 Ученый-полководец Ван-Фань получил лучшее приближение В комментариях к «Математике в 9 книгах» приводится один способ вычисления приближенного значения , который состоит в следующем: Впишем в окружность правильный n-угольник и на его сторонах построим прямоугольники, один из сторон которых касается окружности.

Лю Хуэй (III в до н.э.) полагая

При , он находит, что

Цзу Чуы-Чжи (V в) доказал, что

Точность приближения числа , указанная китайскими математиками, была превзойдена лишь в XV веке математиком Ал-Каши в трактате «Об окружности». Он вычислил значение числа  с 17ю верными знаками