28. Постановка задачі нелінійного програмування, математична модель. Геометрична інтерпретація.

Для ефективного управління народним господарством в цілому, його галузями і окремими об’єктами господарювання потрібне застосування нелінійних економіко-математичних моделей та методів. Зауважимо, що сучасний рівень розвитку комп’ютерної техніки і методів математичного моделювання створює передумови для застосування нелінійних методів, а це може суттєво підвищити якість розроблюваних планів, надійність та ефективність рішень, які приймаються. Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних x_j , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення:

(8.1)

за умов:

( ); (8.2)

. (8.3)

Якщо всі функції та , є лінійними, то це задача лінійного програмування, інакше (якщо хоча б одна з функцій є нелінійною) маємо задачу нелінійного програмування.

Геометрично цільова функція (8.1) визначає деяку поверхню, а обмеження (8.2)—(8.3) — допустиму підмножину n-вимірного евклідового простору. Знаходження оптимального розв’язку задачі нелінійного програмування зводиться до відшукання точки з допустимої підмножини, в якій досягається поверхня найвищого (найнижчого) рівня.

Якщо цільова функція неперервна, а допустима множина розв’язків замкнена, непуста і обмежена, то глобальний максимум (мінімум) задачі існує.

Найпростішими для розв’язування є задачі нелінійного програмування, що містять систему лінійних обмежень та нелінійну цільову функцію. В цьому разі область допустимих розв’язків є опуклою, непустою, замкненою, тобто обмеженою.

Розглянемо приклад геометричного способу розв’язування задачі нелінійного програмування.

29. Графічний метод розв’язування задач нелінійного програмування.

Для розв’язування двовимірних задач лінійного програмування, тобто задач із двома змінними, а також деяких тривимірних задач застосовують графічний метод, що ґрунтується на геометричній інтерпретації та аналітичних властивостях задач лінійного програмування. Обмежене використання графічного методу зумовлене складністю побудови багатогранника розв’язків у тривимірному просторі (для задач з трьома змінними), а графічне зображення задачі з кількістю змінних більше трьох взагалі неможливе.

Розв’язати задачу лінійного програмування графічно означає знайти таку вершину багатокутника розв’язків, у результаті підстановки координат якої в лінійна цільова функція набуває найбільшого (найменшого) значення.

Алгоритм графічного методу розв’язування задачі лінійного програмування складається з таких кроків:

1. Будуємо прямі, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях знаків нерівностей на знаки рівностей.

2. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знаходимо багатокутник розв’язків задачі лінійного програмування.

4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значення цільової функції задачі.

5. Будуємо пряму с₁х₁ + с₂х₂ = const, перпендикулярну до вектора .

6. Рухаючи пряму с₁х₁ + с₂х₂ = const в напрямку вектора (для задачі максимізації) або в протилежному напрямі (для задачі мінімізації), знаходимо вершину багатокутника розв’язків, де цільова функція набирає екстремального значення.

7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набирає максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.