Вопрос 17. Методы решения систем уравнений. Теория межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс (МОБ, метод «затраты-выпуск») — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.

Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.

Модель МОБ В. Леонтьева отличается двояким рассмотрением отдельных отраслей - как покупателей материальных благ и услуг, предложенных другими отраслями, и как продавцов материальных благ и услуг, созданных ими самими. Данная характерная черта модели МОБ позволяет определить ее как модель "затраты-выпуск".

В общих чертах модель МОБ представляет собой таблицу структуры валового национального продукта. Затраты каждой отрасли отражены по вертикали, что характеризует потребление (формирование затрат) промежуточной продукции каждой отраслью и ее вклад в создание конечного общественного продукта. По горизонтали в таблице отражен выпуск продукции по отраслям, что отражает отраслевую структуру потребления (распределения) части промежуточного продукта и конечный продукт отрасли. Используя эти данные, можно определить удельные затраты, разделив выбранный показатель строки или столбца на величину валового продукта, т.е. разделив величину затрат одной отрасли на объем продукции другой, получим удельное потребление этой отраслью продукции первой.

Итак, в народном хозяйстве складываются межотраслевые потоки средств производства, представляющие собой промежуточный продукт. Это находит отражение в I квадранте, во II квадранте представлена сумма использованных на конечное потребление продуктов (конечный общественный продукт). Совокупность промежуточного и конечного продуктов равна сумме всех продуктов предприятий в национальном хозяйстве (валовой национальный продукт). Распределение доходов по отраслям представлено в III квадранте МОБ. В IY квадранте могут быть отражены перераспределения доходов, потоки перераспределения доходов.

I квадрант Промежуточное потребление	II квадрант Конечное потребление
III квадрант Распределение доходов	IV квадрант Перераспределение доходов

Рис. 1. Схема межотраслевого баланса

Модель В. Леонтьева может быть представлена уравнением

X = AX + Y, где

Х - объем производства какой-либо отрасли;

Y - конечный продукт данной отрасли;

А - матрица технологических коэффициентов а_ij, т.е. объем i-й отрасли для создания единицы продукции j-й отрасли.

Модель разворачивается в систему уравнений, отображающую отрасли с конкретными технологическими коэффициентами. Принципиальная схема МОБ производства и распределения продукта может представлена в виде таблице 1.

В строках и столбцах в одинаковом порядке перечислены одни и те же отрасли материального производства от 1 до n ; показатели на пересечении строк и столбцов представляют собой величины межотраслевых потоков продукции - Х_ij, где i и j соответственно номера отраслей производителей и потребителей. Если обозначить количество продукции одной отрасли, необходимой для производства единицы продукции другой отрасли через а_ij, а через Х_j - объем продукции отрасли i и j составит а_ij x_j..

Во втором разделе баланса (в таблице справа от первого) показывается структура конечного продукта, в третьем (он расположен под первым) - формирование его стоимости как суммы чистой продукции и амортизации.

В четвертом разделе показываются элементы перераспределения и конечного использования национального дохода.

Метод В Леонтьева в современных условиях положен в основу моделей межотраслевого баланса, составляемых во многих развитых странах и международных организациях, он применим и для характеристики межотраслевого движения созданного продукта регионов.

Межотраслевой баланс представляет собой каркасную модель экономики, в которой отражаются многообразные натуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве. Анализ межотраслевого баланса дает комплексную характеристику процесса формирования и использования валового национального продукта в отраслевом разрезе.

Особенность модели "затраты-выпуск" состоит в том, что число основных материальных и стоимостных потоков национального хозяйства не ограничено, все зависит от объема информации и необходимых вычислительных средств.

Таблица 1.

Схема межотраслевого баланса производства и распределения валового

национального продукта

Отрасли	1	2	3	:	N	Конечный продукт g	Промежуточный продукт
1.	Х11	Х12	Х13	:	Х1n	Y1	Х1
2.	Х21	Х22	Х23	:	Х2n	Y2	Х2
3.	Х31	Х32	Х33	:	Х3n	Y3	Х3
.	.	.	.	:	.	.	.
.	.	.	.	:	.	.	.
.	.	.	.	:	.	.	.
n	Xn1	Хn2	Хn3	:	Xnn	Yn	Xn
Амортизация	С1	С2	С3	:	Сn
Чистая продукция, в т.ч.
А. Оплата труда	V1	V2	V3	:	Vn
В. Чистый доход	M1	M2	M3	:	Mn
Валовая продукция	Х1	Х2	Х3	:	Хn		n ∑ Хi i=1

Произведенные по межотраслевым балансам расчеты позволяют оценивать прямые и косвенные последствия изменений в масштабах, технологии и структуре производства, в потребительском спросе, внешней торговле, инвестиционной сфере, в соотношении цен и доходов.

С применением таблиц "затраты-выпуск" значительно возрастают аналитические возможности экономических служб государства, поскольку таблицы дают возможность проследить, каким образом рост производства какой-либо отрасли вызывает адекватный рост остальных отраслей, вариантов инвестиционной и налоговой политики, внешней торговли, военных расходов и т.п.

Подчеркивая значение модели межотраслевого баланса для управления экономикой, вместе с тем следует отметить, что данная модель далеко не полно отражает процессы взаимосвязи в национальной экономике. Так, одна из важнейших предпосылок модели межотраслевого баланса - линейность связей, состоящая в пропорциональности выпуска продукции прямым затратам, принимается условно. Линейность связей - это упрощение реальной экономической действительности - принимается для упрощения расчетов по межотраслевому балансу. А потому среди экономистов и математиков ведутся исследования в целях большего приближения межотраслевого баланса к действительности путем отказа, в той или иной форме, от предпосылки линейности.

Не нашли отражения в межотраслевом балансе В. Леонтьева и некоторые важные проблемы макроэкономики, в частности, цикличность развития рыночных процессов.

Еще одним недостатком модели МОБ является и то, что она демонстрирует формулу экономического развития на базе уже сложившихся технологических коэффициентов. Данный подход допустим при экстенсивном развитии, но мало приемлем при интенсивном. Научно-технический прогресс, обусловливающий интенсификацию производства, делает технологические коэффициенты изменяющимися, подвижными, что не позволяет с достаточной достоверностью оценить процессы экономического развития, межотраслевое движение продукта в динамических развивающихся условиях на основе пропорций, сложившихся в прошлых периодах. Методы же оптимизации МОБ еще недостаточно разработаны. Вместе с тем следует заметить, что сама модель "затраты-выпуск" является основополагающей при исследовании отраслевой структуры национального производства.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

x_i – общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли (i=1,2,…,n);

x_ij – объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,…,n);

y_i – объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями конечного продукта, то:

x_i = (x_i1+x_i2+…+x_in) + y_i, i=1,2,…, n

Эти уравнения (их n штук) называются соотношениям баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

Они характеризуют затраты i-ой отрасли на производство единицы стоимости продукции j-ой отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

x_ij=a_ijx_j, (i,j=1,2,…, n).

Поэтому построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса можно записать так:

x_i=(a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n)+y_i, (i=1,2,…, n)

Обозначим

где X – вектор валового выпуска;

A – матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);

Y – вектор конечного продукта. Тогда соотношения баланса можно записать в виде матричного уравнения:

X = AX + Y.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем матричное уравнение в виде:

(E–A) X = Y

Если матрица (E–A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, то

X = (E–A)^-1Y.

Матрица S = (E–A)^-1 называется матрицей полных затрат, а коэффициенты s_ij называются коэффициентами полных материальных затрат. Причем каждый элемент s_ij есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения x_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y_i и a_ij.

Матрица A называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E–A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Один из них говорит о том, что матрица A продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

Пример. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.:

Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовый выпуск
		Энергетика	Машиностроение
Производство	Энергетика	7	21	72	100
	Машиностроение	12	15	123	150

Вычислим необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а в отрасли машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение. Имеем

x₁=100, x₂=150, x₁₁=7, x₁₂=21, x₂₁=12, x₂₂=15, y₁=72, y₂=123.

Коэффициенты прямых затрат:

a₁₁=0,7, a₁₂=0,14, a₂₁=0,12, a₂₂=0,1.

Матрица прямых затрат:

Она является неотрицательной и удовлетворяет критерию продуктивности:

max{0,17 + 0,12; 0,14 + 0,1}=max{0,19; 0,24} = 0,24 < 1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X=(E–A)^-1Y.

Определим матрицу полных затрат S=(E–A)^-1:

Так как |E−A|=0,8202, то

По условию вектор конечного продукта:

Тогда по формуле X=(E–A)^-1Y получаем вектор валового выпуска:

т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179 усл.ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл.ед.

Динамическая модель межотраслевого баланса. В динамической модели из состава конечного продукта выделяются инвестиции в основной капитал, которые рассматриваются как функции прироста производства за период времени от момента до . Это позволяет в рамках одной модели отражать взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития.

Динамическую модель можно представить в виде:

В матричном виде. Если , , ,

где – объем чистого продукта конечного использования i-й отрасли;

– коэффициент вложений фондообразующей отрасли i на инвестиционные цели отрасли j;

– поставка продукции фондообразующей отрасли i на инвестиционные цели отрасли j;

– прирост валовой продукции j-й отрасли.

Таким образом, коэффициент показывает, сколько продукции i-й отрасли должно быть вложено в j-ю отрасль для увеличения продукции j-й отрасли на единицу.

Для решения задачи оценки объемов производства на основе конечного продукта решим уравнение: