13. Неравноточные измерения. Веса измерений и их св-ва.

Если результаты измерений получены в неодинаковых услови­ях и им соответствуют различные дисперсии, а следовательно, и средние квадратические погрешности, то измерения называют не­равноточными.

При обработке неравноточных измерений вводят новую харак­теристику точности измерения — вес.

Вес результата измерения р определяют по формуле

p=k/σ² (1) где k -произвольно выбранное число, но одно и то же для всех весов, участвую­щих в решении задачи;σ² —дисперсия результата измерения.

Точное значение дисперсии σ² никогда неизвестно, поэтому вес вычисляют по формуле p=k/m² (2)

т. е. принимают σ² = m² (где m — средняя квадратическая погреш­ность, полученная по достаточно большому числу результатов из­мерений).

Т.к. k — произвольное число, то вес — относительная ха­рактеристика точности, т. е. он дает представление о точности ре­зультат измерения только при сравнении с весами других резуль­татов.

Как видно из определения веса, отношение весов не изменяет­ся, если все веса увеличить, или уменьшить в одно и то же число раз. Это является одним из свойств весов.

Если двум результатам измерения соответствуют веса p₁ =к/т²₁; p₂ =к/т²₂ то, разделив первое равенство на второе, получим

p₁/ p₂=т²₂ /т²₁ (3).

т.е. веса двух измерений обратно пропорциональны квадратам средних квадратических погрешностей этих измерений.

Равенство (3) выражает второе свойство весов.

Из определения веса следует, что равноточные измерения име­ют равные веса, а неравноточные — неравные.

Св-ва весов. 1) исходя из формулы веса P=k/ видно, что отношение P не изменится, если их увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз. 2) p₁ =к/т²₁; p₂ =к/т²_2; p₁/ p₂=т²₂ /т²_1, т.е. веса обратнопропорциональны квадратам скп. 3) p₁ =к/т²₁; p₂ =к/т²_2; если, m₁=m₂ то имеем равноточные измерения с равными весами; 4) если k=1, то P=1/ m²=> m²=1/P, т.е. формула m² можно заменить величиной 1/P_i= m², которая называется обратным весом.

16. Скп единицы веса.

Если мы оценивали равноточные измерения, то вычисляли скп каждого измерения, как характеристики точности измерений, выполненных в примерно одинаковых условиях. При неравноточных измерениях каждый результат имеет свое скп или вес. Поэтому по большому числу измерений определяют скп измерения, вес которого =1.

μ – скп измерения, вес которого =1., применяют в геодезии за харак-ку точности неравноточных измерений в качестве единицы дисперсии. Применим 2-е св-во весов: P₁=1, => m₂=μ

m²/μ²=1/P; m=μ/√P; μ=m√P

определение скп единицы веса через истинные погрешности. Определение ряда неравноточных измерений l₁=∆₁-P₁

l₂=∆₂-P_{2 ………} l_n=∆_n-P_n. В этом случае скп единицы веса можно вычислить используя формулу Гаусса: m=√[∆²]/n, заменяя скп одного измерения на скп единицы веса: μ=√[P∆²]/n.

Св-ва весов. 1) исходя из формулы веса P=k/ видно, что отношение P не изменится, если их увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз. 2) p₁ =к/т²₁; p₂ =к/т²_2; p₁/ p₂=т²₂ /т²_1, т.е. веса обратнопропорциональны квадратам скп. 3) p₁ =к/т²₁; p₂ =к/т²_2; если, m₁=m₂ то имеем равноточные измерения с равными весами; 4) если k=1, то P=1/ m²=> m²=1/P, т.е. формула m² можно заменить величиной 1/P_i= m², которая называется обратным весом.

Величину L_B называют средним весовым или весовым средним значением.

По формуле L_B =(p₁l₁+ p₂l₂…+ p_nl_n)/( p₁+ p₂…+ p_n) определяют средне весовое и в том случае, когда l₁, l₂…,l_n получены не как средние значения по группам, а из непосредственных измерений с весами p₁, p₂…, p_n . сокращенно формула среднего весового может быть записана в виде L_B =[pl]/[p]. Для упрощения вычислений используют приближенное значение lo, которое выбирают с таким же расчетом, как и средне арифметич.

Формула средне весового с приближен. значением имеет вид L_B =lo+[pЕ]/[p]