Математичне чекання виграшу виразиться сумою

або

.

Необхідно знайти максимум цієї величини при умовах р₁  0; р₂  0; р₁ + р₂ = 1. З останнього співвідношення р₂ = 1-р₁, відкіля  = 9.2 –41р₁. Ясно, що максимум цієї величини, рівний 9.2, може бути отриманий при р₁ = 0; р₂ = 1. У цих умовах правильною стратегією є висівання озимих у кожнім році.

Більш ретельний аналіз ситуації показує, що оптимальна стратегія супротивника (у даному випадку природи) є свого роду перевальною крапкою: якщо імовірність поганої зими перевищує обчислену вище оптимальну імовірність , те найбільш сприятливою стратегією буде щорічне висівання ярових. Якщо ця імовірність менше ніж , то раціонально висівати щороку озимі. Виграш в обох цих випадках буде більше, ніж ціна гри рівна .

На ідеї пошуку оптимальної відповіді на кожну (не обов'язково оптимальну) стратегію іншої сторони ґрунтуються наближені методи рішення ігор, що вживаються при великих платіжних матрицях і не близьких один одному  і  Для одержання наближення вживається наступний ітераційний метод. Гравець А вибирає кожну зі своїх стратегій, наприклад А_i1. Гравець B вибирає як відповідь ту стратегію В_ji, що найбільш невигідна для A при стратегії A_i1. Гравець А відповідає на це кращої (проти стратегії B_j1)стратегією A_i2. Гравець B шукає стратегію B_j2, найкращу проти суміші в рівних пропорціях стратегій A_i1 і A_i2. Стратегія A_i3 повинна бути найкращої проти рівноймовірної суміші стратегій B_j1 і В_j2,, стратегія В_j3 — найкращої проти рівноймовірної суміші стратегій A_i1, A_i2, A_i3 і т.д.

Якщо продовжити цей процес досить довго, то частоти, з якими зустрічаються різні стратегії, прагнуть до ймовірностей їхнього застосування в парі оптимальних стратегій, а середній виграш – до ціни гри.

Далі , в цьому параграфі найпростіші з задач прийняття статистичних рішень з використанням експериментів – статистичні ігри з одиничним (ідеальним і не ідеальним) експериментом. Викладення цих задач показано в (73) і (82). Розгляду теорії статичних рішень призначені (74) , (94).

Статистичні ігри з одиничним ідеальним експериментом.

Звернемось до загальної постановки задачі. Нехай потрібно провести операцію в недостатньо визначених умовах її проходження чи з використанням об’єктів, властивості яких недостатньо вивчені. Головна сторона - „статистик” – визначається можливістю вибору з m стратегій х₁, х₂, ... , х_м. Відносно невизначених факторів можна зробити п пропозицій П₁, П_2, ... , П_п. Ймовірності можливих станів природи оцінюються як q₁, q₂,…, q_n, де ,що створюють п – вимірний вектор Q=(q_j) апріорних ймовірностей стану природи. Вектор апріорних ймовірностей станів природи відомий. Відомі також матриця виграшів А=|a_ij| розміру m*n, де a_ij – виграш оперуючої сторони у випадку реалізації нею і-ї стратегії x_i в умовах j-го стану природи П_j.

Для зниження степені невизначеності відносно дійсного стану природи статистик може провести одиничний ідеальний експеримент. Що призводить до повного пояснення дійсного стану природи Ціна проведення експерименту відома і дорівнює С ( в тих же одиницях, що й виграш a_ij).

Потрібно визначити чи потрібно проводити експеримент і яка стратегія є оптимальною у випадку проведення експерименту і при відмові від нього.

Щоб зробити висновок про доцільність чи недоцільність проведення експерименту. Зрівняємо наш максимально можливий середній виграш без проведення експерименту з середнім виграшем, яким можна отримати після проведення експерименту.

Середній виграш a_ij^ср , відповідної стратегії х_і, визначається за формулою для математичного сподівання:

(8.49)

В якості оптимального рішення без проведення експерименту, виходячи з баєсовського принципу оптимальності, потрібно обрати ту стратегію х_t з числа можливих стратегій, для якої досягається максимальний середній виграш a^ср , тобто ту яка максимізує вираження (8,49).

Максимальний середній виграш a^ср і номер t оптимальної стратегії х_t, визначається з умови:

(8.50)

317

Максимальний середній виграш a^ср і є той виграш на який ми можемо орієнтуватися при виборі оптимальної стратегії в операції яку ми розглядаємо, якщо експеримент не проводиться.

Тепер припустимо, що ми провели експеримент і визначили який із станів П₁, П_2, ... , П_п є дійсним станом природи. Якщо ним став стан П_j, то очевидно ми повинні застосовувати цю стратегію, для якої в цьому стані виграш максимальний, тобто для якої досягається виграш рівний

(8.51)

Виграш (8,51) буде мати місце, якщо експеримент буде проведений. Але ми повинні завчасно. До проведення експерименту вирішити чи доцільно проводити експеримент. Нам не відомо, який із станів природи має місце насправді і який буде наш справжній виграш після проведення експерименту.

Щоб оцінити можливий виграш після проведення експерименту осереднимо виграш , рівними апріорним ймовірностям станів природи:

(8.25)

З врахуванням вартості С експерименту наш середній виграш з застосуванням ідеального експерименту рівний:

(8.53)

Правило, що визначає доцільність проведення експерименту можна сформулювати таким чином: якщо виграш , що визначається (8,53), перевищує виграш a^ср без експерименту, визначається (8,50), то експеримент проводити доцільно. З врахуванням (8,50), (8,51) і (8,53) це правило можна сформулювати таким чином: проведення експерименту доцільне, якщо справедлива умова:

(8.54)

Враховуючи, що перетворимо вираз (8,54) до вигляду:

(8.55)

318

Але величина є за визначенням, ризик , а сума в вираженні (8,55) під знаком мінімуму представляє собою середній ризик , відповідної стратегії х_і так як:

(8.56)

Мінімальний середній ризик дорівнює:

(8.57)

Тобто дорівнює правій частині виразу (8,55).

Тому правило про доцільність проведення експерименту набуває наступного вигляду: експеримент проводити доцільно якщо затрати С на його здійснення менше мінімального середнього ризику:

(8.57)

Після проведення експерименту і визначення дійсного стану природи в якості оптимальної стратегії потрібно обрати ту стратегію, яка максимізує виграш при знайденому дійсному стані природи.

В іншому випадку, якщо вартість експерименту перевищує мінімальний середній ризик, потрібно відмовитись від експерименту і в якості оптимальної стратегії взяти ту стратегію, для якої досягається максимальний середній виграш a^ср ( або мінімальний середній ризик ).

Приклад.

На технологічну лінію може надходити сировина різної якості. З минулого досвіду відомо, що в 60% випадків поступає сировина з малою кількість домішок П₁ , в 40% випадків – сировина з великою кількістю домішок П₂.

На технологічній лінії передбачено три режими роботи: х₁, х₂, х₃. Прибуток підприємства від реалізації продукції, що виробляється на технологічній лінії, залежить від якості сировини, що використовується. І від режиму роботи технологічної лінії. Цей прибуток в розрахунку на один день приведений нижче в таблиці 8,19 ( в умовних одиницях).

Таблиця 8.19 Таблиця 8.20

	5	1
	4	2
	2	3
	0,6	0,4

	0	2	0,8
	1	1	1
	3	0	1,8
	0,6	0,4

Потрібно визначити максимальні вартість експерименту, який доцільно проводити раз на день з метою точного визначення якості сировини.

319

Розв’язок.

Перейдемо до матриці ризиків r_ij табл (8,20) і визначимо середній ризик r_ij^ср для кожного режиму х₁, враховуючи апріорні ймовірності q₁ i q₂ виникнення сировини П₁ і П₂ рівними0,6 і 0,4. З аналізу величини r_ij^ср можна визначити. Що мінімальний середній ризик r_ij^ср=0,8.

Висновок.

Експеримент потрібно проводити, якщо його вартість не перевищуватиме 0,8 одиниці. В іншому випадку в якості оптимального необхідно використовувати режим х₁, що забезпечує мінімальний середній ризик r_ij^ср=0,8 (або максимальний середній прибуток а^ср=5*0,6+1*0,4=3,4).

Статистичні ігри з одиничним не ідеальним експериментом.

Розглянемо доволі загальний випадок, коли результат одиничного експерименту випадковий і залежить від появи одного з k несумісних подій S₁,S₂, … ,S_k, що створюють повну систему подій. Окремі випадки закінчення експерименту пов’язані із станами природи П₁, П_2, ... , П_п. Цей зв’язок проявляється в тому, що для кожного можливого стану природи є певна ймовірність появи того чи іншого результату експерименту.

Визначимо умовну ймовірність появи результату S_t експерименту в умовах стану природи П_j через

(8.59)

Де символом Р позначена ймовірність.

Оскільки результати S₁,S₂, … ,S_k експерименту утворюють повну систему подій, справедливо рівняння:

для (8.60)

В задачі припускається, що матриця W=|w_lj| розміру k*n умовних ймовірностей результатів експерименту повністю відома досліднику.

Повний об’єм початкової інформації в ЗПР, що розглядається в наступних даних:

1. множина можливих стратегій статистика Х={ х₁, х₂, ... , х_м} і множина можливих станів „природи” П={ П₁, П_2, ... , П_п};

2. матриця розміру m*n виграшів статистика А=|a_ij|;

3. n – розмірний вектор апріорних ймовірностей стану природи Q=(q_j);

4. множина S={ S₁,S₂, … ,S_k } можливих результатів одиничного експерименту;

5. матриця розміру k*n умовних ймовірностей результатів експерименту W=|w_lj|;

6. вартість С проведення експерименту (вимірюється в тих же одиницях, що й виграш статистика).

В описаній ситуації виникає два питання: 1) чи доцільно (із міркувань зростання виграшу статистика) проведення експерименту? 2) якщо проведення експерименту доцільне, то яка із стратегій повинна бути вибрана в якості оптимальної у випадку того чи іншого результату експерименту? Відповіді на ці питання представляють собою рішення ЗПР з одиничним неідеальним експериментом

320

Звернемось до розгляду послідовностей міркувань, що ведуть до рішення поставленої задачі. Представимо, що після реалізації експерименту з’явився результат S_t. Знаючи, що ми можемо уточнити ймовірності станів природи П₁, П_2, ... , П_п при умові, що експеримент дав результат S_l. Шукані апостеріорні ймовірності можна підрахувати за відомою в теорії ймовірностей формулою Байеса:

для (8.61)

Після того, як будуть визначені уточнення в результаті експерименту (апостеріорні) ймовірності станів природи П₁, П_2, ... , П_п, для кожної стратегії х_і, можна визначити середній виграш по формулі математичного сподівання:

(8.62)

Величина a_ij^сер має вигляд умовно середнього виграшу статистика від стратегії х_і при умові, що експеримент дав результат S_t.

Підрахувавши середні умовні виграші a_ij^сер для всіх стратегій статистика х₁, х₂, ... , х_м можна визначити оптимальну стратегію х_tl , яка максимізує значення умовного середнього виграшу a_ij^сер. Стратегія х_tl є умовно оптимальною, тобто оптимальною при умові, експеримент дав результат S_t. Для позначення умовно-оптимальної стратегії використано два індекси: перший індекс t вказує номер оптимальної стратегії з множини можливих стратегій х₁, х₂, ... , х_м, а в другій індекс l вказує при якому результаті з множини результатів S₁,S₂, … ,S_k ця стратегія оптимальна.

Номер t умовно – оптимальної стратегії х_tl знаходиться з умови:

(8.63)

Де a_i^сер – умовно-максимальний середній виграш (при умові , що експеримент дав результат S_t).

Описані розрахунки по формулах (8,61,(8,62),(8,63) відносяться тільки до одного результату експерименту - результату S_t. Вони дозволяють визначити умовно – опитимальну стратегію х_tl і відповідно їй умовно-максимальний середній виграш a_ij^сер в припущенні, що експеримент мав результат S_t.

321

Враховуючи, що проведення експерименту пов’язано з затратами засобів в кількості С, статистик повинен провести відповідні розрахунки раніше, до проведення експерименту і не для одного результату експерименту, а для всіх можливих результатів S₁,S₂, … ,S_k , оскільки результати експерименту випадкові. В результаті цих розрахунків повинні бути визначені умовно – максимальні середні виграші a_i^сер і відповідні їм умовно – оптимальні стратегії х_tj для всіх можливих результатів експерименту.

Умовно – максимальний середній виграш a_i^сер є випадковою величиною. Ймовірність появи його різних значень співпадає з ймовірностями появи результатів експерименту S₁,S₂, … ,S_k. Визначимо ймовірність появи результату S₁ h_t. Вона може бути визначена за формулою повної ймовірності, якщо відомі умовна ймовірність w_lj появи результату S_k при стані природи П_j та апріорна ймовірність q_j стану природи П_j:

(8.64)

Визначимо через a_екс^сер середнє значення максимального виграшу, яке може бути отримано при умові проведення експерименту. Велична цього виграшу може бути отримана по формулі математичного сподівання:

(8.65)

Щоб вирішити питання про доцільність про проведення експерименту, необхідно порівняти виграш a_екс^сер з тим максимальним середнім виграшем, який може бути отриманий без проведення експерименту. Як було показано вище, величина a^сер визначається за формулою:

(8.66)

Очевидно, що проведення експерименту можна вважати доцільним, якщо збільшення середнього виграшу за рахунок його проведення перевищує вартість експерименту. Іншими словами, проведення експерименту доцільне якщо виконується умова:

(8.67)

Після того, як питання про питання доцільності проведення експерименту вирішено позитивно, дослідник повинен сформулювати для керівника операції правило, що визначає

322

яку стратегію необхідно прийняти при кожному з можливих результатів експерименту. Це правило в теорії статистичних рішень називають вирішальним правилом. Визначимо визначальне правило символом d. Вирішальне правило d також називають вирішальною функцією і позначають у вигляді d(S_l)=x_i.

Пояснимо поняття вирішального правила на прикладі. Уявимо, що в деякій задачі простір стратегій складається з трьох елементів. Х={x₁,x₂,x₃}, а простір результатів експерименту – з п’яти елементів, тобто S={S₁, S₂, S₃, S₄, S₅}. Вирішальну функцію d(S_l)=x_i можна задати у вигляді множини пар індексів (l, i), що визначають номер стратегії x_i при результаті експерименту S_l. Вирішальною функцією може бути, наприклад, множина {(1,1),(2,1),(3.2),(4.2),(5.3)}. Це вирішальне правило означає. Що при результатах експерименту S₁та S₂ повинна бути прийнята стратегія х_l при результаті S₃ та S₄ – стратегія х₂, а при результаті S₅ – х₃. Звичайно приведена вирішальна функція не є єдиною можливою. Можна було б розглядати функцію {(1,1),(2,2),(3.2),(4.3),(5.3)} або функцію {(1,1),(2,1),(3.2),(4.2),(5.3)}. Сукупність всіх можливих вирішальних функцій створює простір D вирішальних функцій. Кожен ЗПР відповідає свій простір вирішальних функцій.

Поняття вирішальних функцій дозволяє більш чітко сформулювати задачу статистика. Ця задача полягає в тому, щоб з простору вирішальних функцій обрати вирішальну оптимальну функцію, що дозволяє приймати оптимальні рішення, тобто, вибирати при кожному результаті експерименту відповідну йому умовно – оптимальну стратегію.

Як вже відмічалось раніше, в теорії статистичних рішень немає одного принципу оптимальності. Одним з поширених принципів є баєовський принцип. Оптимальне баєсовське вирішальне правило ставить у відповідність кожному можливому результату експерименту S_t умовно – оптимальну стратегію х_tl, яка максимізує умовний середній виграш a₁^сер.

Проілюструємо описану процедуру рішення ЗПР в умовних природних невизначеностях з одиничним неідеальним експериментом на числовому прикладі.

Приклад.

Нехай розглядається гра з природною 3*4 умови якої приведені в таблиці 8.21. В нижньому рядку цієї таблиці представлені апріорні ймовірності Q=(q_j) можливих станів природи.

З метою уточнення обстановки проведення операції можливо проведення одиничного неідеального експерименту. Він може мати три можливих результати S₁, S₂, S₃. Умовні ймовірності цих результатів приведені в табл. 8.22.

Необхідно визначити при яких витратах на експеримент його проведення доцільне, а також визначити оптимальне баєсовське вирішальне правило.

Розв’язок.

Першочергово потрібно визначити максимальний середній виграш a^сер і оптимальну стратегію х_t для задачі без експерименту. Результати відповідних розрахунків приведено в табл. 8.23. Оптимальної баєсовської стратегії без проведення експерименту є стратегія х_t, а відповідний максимальний середній виграш a^сер=5,2.

323

Тепер перейдемо до визначення умовно – максимальних середніх виграшів a^сер і умовно – оптимальних стратегій х_l1, для кожного результату експерименту.

Результат S₁. Визначимо апостеріорні ймовірності v_ji станів природи при умові результату експерименту S₁.

Перевірка:

З врахуванням апостеріорних ймовірностей v_ji табл. 8.21 перетворюється в табл. 8.24.

Таблиця 8.21 Таблиця 8.21

	1	4	5	9
	3	8	4	3
	4	6	5	2
	0,1	0,2	0,5	0,2

	0,2	0,9	0,4	0,3
	0,1	0,1	0,5	0,3
	0,7	0	0,1	0,4

Таблиця 8.23 Таблиця 8.24

	1	4	5	9	5,2
	3	8	4	3	3,06
	4	6	6	2	5
	0,1	0,2	0,5	02

	1	4	5	9	4,96
	3	8	4	3	5,20
	4	6	6	2	5,09
	0,043	0,392	0,435	0,130

324

При результаті експерименту S₁ умовно – оптимальних стратегій x_ti є стратегія х₂, а відповідний їй умовно – максимальний середній виграш a^сер=5,2.

Аналогічні розрахунки повинні бути проведені для результатів експерименту S₂ та S₃. Результати цих розрахунків представлені в табл. 8.25 та 8.26.

Таблиця 8.23 Таблиця 8.24

	1	4	5	9	5,53
	3	8	4	3	4,03
	4	6	6	2	5,23
	0,029	0,059	0,735	0,177

	1	4	5	9	5,20
	3	8	4	3	3,25
	4	6	6	2	3,7
	0,35	0	0,25	0,4

При результаті експерименту S₂ умовно – оптимальної стратегії x_t2 є стратегія x₁, а відповідний їй умовно – максимальний середній виграш a₂^сер=5,53.

При результаті експерименту S₃ умовно – оптимальної стратегії x_t2 є стратегія x₁, а відповідний їй умовно – максимальний середній виграш a₃^сер=5,2.

Результати досліджень показують, що в даній задачі оптимальним баєсовським вирішуючим правилом є правило вигляду {(1.2),(2.1),(3.1)}, або інакше:

Словесне формулювання цього провила може бути такою: якщо експеримент дав результат S₁, застосовують стратегію x₂, в інших випадках – x₁.

Тепер відповісти на це питання потрібно визначити повний максимальний середній виграш, для чого, в свою чергу, потрібно визначити ймовірності h₁, h₂, h₃ результатів експерименту S₁, S₂, S₃.

325

Перевірка:

Максимальний середній виграш дорівнює

З порівняння максимальних середніх виграшів з експериментом і без експерименту виходить, що в задачі яку ми розглянули проведення експерименту доцільне, якщо пов’язані з ним затрати С задовольняють умові:

Чі і витрати на перевезення одиниці продукту з пункту Я до пункту j. Припускаємо що сумарний запас дорівнює сумарному попиту і для всіх i

Потрібно скласти план перевезення продукту /або закріплення постачальників за споживачами/, коли запаси кожного постачальника було б вивезено, попит кожного споживача задоволено і загальні транспортні витрати мінімальні. Умови траспортної задачі звичайно записують у таблицях /табл. 8.4/.

Я	j		1		2		…		n		AЯ
1		C11		C12		…		C1n		A1
2		C21		C22		…		C2n		A2
…		…		…		…		…		…
m		Cm1		Cm2		…		Cmn		Am
Bj		B1		B2		…		Bn

Складаемо математичну модель задачі. Позначимо шуканий план перевезення від постачальника Я до споживача j і розглядатимемо змінні , що задають цей план, як компоненти матриці перевезень Х розмірністю m*n:

/8.10/

Затрати пов’язані з деякими перевезеннями , становитимуть величину , а загальна вартість перевезень Z від усіх постачальників до всіх споживачів

/8.11/

згідно з постановкою задачі план перевезень треба скласти так, щоб вивезення від кожного постачальника дорівнюватиме обсягу виробництва:

/8.12/

а загаліні поставки будь-якому споживачеві задовольняли його попит:

/8.13/

з фізичного змісту зміних випливають умови їх невід”ємності:

/8.14/

Остаточно дістаємо таке формулювання транспортної задачі: знайти значення зміних ,, які задовольняють умови /8.12/-/8.14/ і мінімізують функцію мети /8.11/.

Це кононічна задача лінійного програмування. У ній кількість зміних становить mn, a кількість обмежень-рівностей m+n. Ліві частини рівнянь /8.12/ утворюють рядкові, а /8.12/ та /8.13/ суми елементів Я-го рядка матриці Х і j-го стовпця мають дорівнювати відповідно AЯ і Bj. Тому рівняння /8.12 називають рядковим, а /8.13/- стовпцевим.

Вимогу запасу між сумарними запасами і потребами опусує умова сумісності

\8.15\

системи обмежень /8.12/і /8.13/.

транспортну задачу для якої виконується умова балансу /9.15/,називають закритою. Коли цю умову пропущено ,то кажуть що задача відкрита. Тут можливі два випадки:

сумарні запаси перевищують сумарний попит, коли, задовольнивши попит усіх споживачів , деякі постачальники мають не вивезений продукт.

Сумарний попит більший за сумарні запаси, тобто деяким споживачам буде завезено продукту менше , ніж вони потребують.

Відкриту модель легко перетворити на еквівалентну їй закриту.

Розв’язання транспортної задачі симплекс методом, як і кожної задачі лінійного програмування , складає ця з двох етапів: на першому деякий початковий опорний план, а на другому послідовно його поліпшують. Різновидом модифікованого симплекс-методу, пристосованого до особливостей транспортної задачі, є метод потенціалів, в якому опорні плани будуть елементарним способом, наприклад методом північно західного кута. Так називають процедуру побудови припустимого плану яку розпочинають з лівої верхньої клітинки таблиці, що описує умови транспортної задачі, і щоразу після вилучення стовпця (рядка) в під матриці ,що залишаються, знову беруть ліве верхню клітинку.

Розглянемо приклад розв’язання транспортної задачі методом потенціалів.

Приклад 8.3 у місцях складування А1, А2, А3 (пунктах відправлення – ПБ) трьох дільниць цеху проміжного складання скупчується протягом години відповідно 30, 48, і 20 складених одиниць однієї назви

Для безперервного складання виробів потрібно, щоб періодично на стенди В1, В2, В3, В4,(пункти призначення -ПП) згідно з замовленнями надходили для комплектації 18, 27, 42, 11 складальних одиниць.

Вантажі можна перевозити з будь якого пункту А1, А2, А3, у будь який пункт В1, В2, В3, В4. відомі вартості перевезень одиниці вантажу з пункту Аі в пункт Вj. Вартості задано матрицею

Сума запасів вантажу дорівнює сумі замовлень, тобто виконується умова сумісності /8.15/ : 30+48+20=18+27+42+11=98. транспортну задачу можна зобразити табл.8.5 записавши її умови і вартості перевезень .

Транспортна задача - це задача на графі, що забезпечує мінімальну вартість перевезень чи доставляння вантажів до споживачів у найкоротший термін.

Теоретичне обґрунтування і способи розв’язання транспортної задачі на графовій моделі за критерієм вартості або за критерієм часу методами транспортних мереж та лінійного програмування викладено в

Таблиця 8.5

ПН ПО	В1	В2	В3	В4	Запаси	Потенціал
А1	18 1	12 3	0 2	-1 4	30	0
А2	2 2	15 4	33 1	0 6	48	1
А3	5 5	7 2	9 4	11 3	20	4
Замовлення	18	27	42	11
Потенціал v	1	3	0	-1

Розв’яжемо транспортну задачу методом потенціалів.

Складемо допустимий план перевезень методом “північно-західного кута”. Заповнити таблицю 8.5 розпочнемо з лівого верхнього /”північно-західного”/ кута, тобто з клітинки А1-В1. До наступної клітинки рухатимемося праворуч або в них. Вартості перевезень поки що не беремо до уваги. Пункт В1 подав замовлення на 18 одиниць вантажу, яке можна задовольнити за рахунок запасів ПВ А1, тому в клітинку А1-В1 впишемо число 18. наступною клітинкою буде А1-В2, куди треба вмістити 27 одиниць вантажу. З А1 розташовуємо 12 одиниць. У клітинку А2-В2 з А2 випускаємо 15 одиниць, в А2-В3 з А3 9 одиниць в А3-В4 з А3 11 одиниць.

План називають допустимий коли всі замовлення виконано й усі запаси вичерпано.

Клітинки таблиці, перевезення в яких не дорівнюють нулеві, називають базисним. Допустимий план називають опорним, коли в ньому не

План перевезень називають оптимальними, коли він з-поміж усіх доступних планів дає мінімальну сумарну вартість перевезень.

План не оптимальний, бо під час його складання не враховано вартостей перевезень. Сумарна вартість за складеним планом

Для оптимізації плану перевезень запровадимо такі поняття й теореми.

1. Потенціалами опорного розв′язку називають такі числа та х для всіх базесних клітинок.

Зауваження 1. Невідомих чисел та , в кількість співвідношень для них становить , тому одне з цих чисел можна вибрати довільно. Припустимо, що . тоді решту невідомих можна визначити однозначно.

Зауваження 2. Суму потенціалів називають псевдовартістю.

2. Якщо для всіх незаповнених клітинок то одержаний план оптимальний.

Розв′язання методом потенціалів складається з кількох етапів.

Перший етап. Визначимо потенціали, припустивши, що

Для клітинки , .

Для

Для

Для

Клітинка

Клітинка .

Значення потенціалів занесемо в табл. 8.5

Другий етап. Підрахуємо псевдовартості для всіх вільних клітинок і їх значення впишемо в верхні кути вільних клітинок.

Псевдовартості /сума потенціалів/ відповідно дорівнббть для клітинок:

Чи оптимальний одержаний в таблиці план перевезень? Умова оптимальності _, У плані в клітинці псевдовартість дорівнює 7, а вартість 2. Оскільки > , то побудовано неоптимальний план.

Третій етап. Побудуємо новий опорний план. Розглянемо цикл так званих перекидань. Одну з вершин циклу вмістимо у відділену клітинку , а решту – в базисні клітинки

Такий цикл єдиний. Клітинкам надаємо почережні знаки «+» та «-». У виділеній клітинці табл. 8.5 ставимо знак «+».

Перемістимо по побудованому циклу найбільшу величину вантажу так, щоб новий план лишався опорним. У клітинках, це стоїть знак «+» , вантаж додаємо, а»-» - зменшуємо /на одну й ту саму величину/. Яке число потрібно перемістити по виділеному циклу? Відповідь: 9 одиниць вантажу. Будуємо нову табл. 8.6. підрахуємо вартість перевезень за новим планом:

Звертаємо увагу на те , що вартість зменшилась на цю величину можна дістати й іншим способом: де 7 – псевдовартість клітинки, 2 – її вартість, 9 – число, що його ми переміщували по циклу.

Таблиця 8.6

ПП ПВ	ВІ	В2	В3	В4	Запаси	Потенціал
АІ	І8 1	12 3	0 2	4 4	30	0
А2	2 2	6 4	42 1	5 6	48	1
А3	0 5	9 2	0 -1 4	11 3	20	-1
Замовлення	18	27	42	11
Потенціал	1	3	0	4

Щоб перевірити оптимальність нового плану, доведеться знову повернутися до першого етапу – підрахунку потенціалів.

Знайдемо значення потенціалів:

Знайдемо псевдо вартості для всіх вільних клітинок :

Перевіряємо за умовою чи є одержаний план оптимальним .Для клітинки < і для решти псевцоклітинок умова виконується. Одержаний план – оптимальний, бо псевдо вартості не перевищують вартостей.

Отже, оптимальний план перевезень:

Загальна вартість усіх перевезень за цим планом становить 171.

План перевезень зображено на рис 8.2.

(30) (48) (20)

18 (1) 12 (3) 6 (4) 42 (1) 9 (2) 11 (3)

(18) (27) (42) (11)

Рис. 8.2. оптимальний план перевезень до прикладу 8.3.

Задача про призначення

Розглянемо транспортну задачу. В якій обсяги в кожному з пунктів i,j і записів б_і і потреб б_j – однакові й дорівнюють одиниці. Тоді з умови /8.15/випливає, що . І модель задачі /8.11/=/8.14/ набуває вигляду

/8.16/

Транспортну задачу з постановкою /8.16/ називають задачею про призначення. Як і можна така задача, вона має розв’язок у цілих числах, до того ж обмеження дають смогу змінити х іj набувати тільки значення 0 або 1. Назва задачі пов’язана з такою інтерпритацією її умов.

Є n різних робіт, яким можна доручити різним виконавцям. Призначення виконавці і на роботу j спричинить затрати . Кожного виконавця потрібно призначити на одну і тільки одну роботу, але так, щоб сумарні затрати не виконання всіх робіт були мінімальні.

Розглянемо задачу про призначення з постійною постановкою – так завну спрощену задачу. Нехай кожен виконавець може виконувати певні, але не всі роботи, і під час розподілу за роботами ураховують тільки те, придатний виконавець до даної роботи чи ні, а затрат не беруть до уваги. Усього є m виконавців і n робіт. Треба розподілити виконавців за роботами так щоб загальна кількість призначень була максимальною і щоб на одну роботу не призначити більше одного виконавця, а одну роботу доручити тільки одному виконавцеві.

Запровадимо матриці , елементи якої можуть набувати одне з двох значень - , коли виконавець придатний до роботи j, i в протилежному разі.

Матрицю Q називають матрицею кваліфікацій, її рядки й стовпці- рядками. Клітинками. Що містять одиниці. – допустимими. А нулі – недопустимими.

Таким чином. За умовою всі елементи матриці кваліфікацій поділено на два класи – допустимі і недопустимі клітинки.

Серед практично важливих задач знаходження умовного екстремуму лінійної функції, важливе місце займають задачі з необхідністю цілочисельних всіх чи частини змінних.

Перед тим як формально визначити задачі цілочисельного лінійного програмування розглянемо приклади.

Задачі про призначення. Маємо n видів різних робіт і n робітників для їх виконання. Припускаючи, що кожний кандидат назначається на один і тільки один вид робіт. Позначимо c_ij дохід , який отримується при призначенні і-го кандидата на j-й вид роботи. Необхідно розпреділити кандидатів на роботу так, щоб сумарний дохід від зроблених призначеннях був максимальний.

Нехай

Тоді математичне модель задачі про призначення набуде вигляду:

Максимілізувати

При обмеженнях

j=1,2,…,n; i=1,2,…,n ( =0, чи =1).

Задача про ранець. В наявності є різноманітні предмети n назв. Турист, збирається в похід, повинен спакувати деякі з них в ранець. Ранець має m обмежень по вазі, об’єму, лінійних розмірів і т.д. пусть а_ij – i-та характеристика (і=1,2,…,m) предмета j-ої назви (j=1,2,…,n); b_i – обмеження по вазі , об’єму, лінійним розмірам і т.д. нехай x_j – кількість предметів j – ої назви, запланових до загрузки в ранець, а с_j – корисність одного предмета

j –ої назви. Тоді математична підстановка задачі набуває наступного вигляду:

- максимілізувати

- при обмеженнях

і=1,2,…,m;

- ціле, j=1,2,…,n.

Зазначимо, що в початковому формулюванні даної задачі мова йшла не про ранець, а про загрузку бомбардувальників різних типів бойового запасу с ціллю максимілізувати сумарний ефект даної системи бойових операцій.

Задача про вибір типу кораблів (чи інших типів транспортних засобів). Річне пароплавство забезпечує n маршрутів з приблизно однаковою кількістю пасажирів на кожному. Витрати пароплавства для обслуговування кожного з m його пароплавів визначається утримування обслуговуючого персоналу на кожному судні і витратою пального, дохід – кількістю проданих білетів.

Нехай по j – му маршруті перевозиться за сезон b_j⁽¹⁾ чоловік. Перевозку пасажирів по даному маршруті можна виконувати m різними типами кораблів, для кожного і – ого типу судна (і=1,2,…m) відомі слідуючі характеристики:

1. а_і⁽¹⁾ – вантажопідйомність (кількість місць);

2. а_і⁽²⁾ – чисельність обслуговуючого персоналу;

3. а_і⁽³⁾ – витрата пального за сезон;

4. с_ij – прибуток за сезон від використання і-го судна по j – му маршруті.

Необхідно вибрати парк кораблів для кожного маршруту, при якому буде максимальний прибуток судноплавства при виконанні обмежень: загальна витрата пального за сезон не може перевищувати b₃ одиниць, а загальна кількість обслуговуючого персоналу – b₂ чоловік.

Тепер приведемо формальне визначення задачі цілочисельного програмування (в стандартній формі): знайти вектор х=(х₁,…х_n), що мінімізує лінійну функцію

і задовольняючи систему обмежень

і=1,2,…,m;

, - ціле j=1,2,…,n.

Наведене формулювання відрізняється від звичайної ЗЛП лише умовою цілочисельності, яке накладається на змінні х. цю вимогу приводять до таких специфічних особливостям, що інколи цю задачу відносять до нелінійного програмування.

Якщо цілочисельність накладається лише на деякі змінні, то задача називається задачею частично-цілочисельному програмуванні. Якщо ж змінні можуть приймати лише кінцеву кількість значення (не обов’язково ціле), то говорять, про задачу дискретного програмування.

Здається, цілочисельна задача вирішується простіше, чим звичайна ЗЛП, в силу того , що її допустима величина розв’язків є кінцева множина точок. Але цим не буде змоги скористатися при розв’язанні практичних задач. Наприклад, 64 змінних х, приймають значення лише нуль чи одиниця, дадуть множину точок 2⁶⁴.

Часто при ознайомленні з цілочисельною ЗЛП виникає природне бажання розв’язати цю задачу без врахування цілочисельності х, а потім округлити результат до найблищого цілого. Але такий безпосередній підхід може далеко віднести від оптимального оптимуму.

Приклад 1. В задачі

,

, - ціле j=1,2,…,n.

Ров’язком є точка х^*_ц= (2; 2; 5), а без потреби цілочисельна рішення ЗЛП має вигляд х^*= (1/2; 0; 9/2).Звідси, ніякі варіанти округлення рішення допоміжної ЗЛП не дають навіть приблизного рішення початкової задачі цлочисельного лінійного програмування.

Геометрична область допустимих розв’язків звичайної ЗЛП і цілочисельні задачі можна представити так як показано далі.

Але якщо в звичайній ЗЛП перейти від допустимої області D до області D_ц, то розв’язок такої задачі буде цілочисельний.

На жаль, безпосередній перехід від задачі цілочисельного програмування до ЗЛП практично не може бути реалізований, оскільки побудувати область D_ц досить важко. Цю задачу можна вирішити в деякому значенні частково, послідовно врізаючи область D за допомогою так званих відсікаючи площин.

Методи відсікання

Ідея методів відсікання полягає в слідуючому. Ров’зується ЗЛП, яка отримана з цілочисельною задачі відкиданням умови цілочисельності. Якщо розв’язок допоміжної ЗЛП цілочисельний, то він тоді є розв’язком початкової задачі. Якщо оптимальний розв’язок допоміжної задачі не цілочильний, то тоді до розв’язку цілочисельною задачі додають нове лінійне обмеження; воно задовольняє розв’язок початкової цілочисельною задачі, але не задовольняє отриманому не цілочисельному розв’язку початкової ЗЛП. Вказане доповнення лінійного обмеження оприділяє деяку відсікаючи площину і називається правильним відсіканням. Нові правильні відсікання додають до початкової допоміжної ЗЛП до тих пір, поки на деякому кроці не буде отримане цілочисельний розв’язок допоміжної задачі, який, напевно, буде оптимальним розв’язком початкової задачі цілочисельного лінійного програмування.

Одним із методів відсікання є метод Гоморі.

Розв’язується задача повністю цілочисельним лінійним програмуванням.

………………………………

,

де х=(х₁,х₂,…,х_n) – цілочильний вектор.

Поряд з нею розглядається допоміжна ЗЛП

………………………………

,

отримана з попередньої умови цілочильності вектора х. Задача (3.2) розв’язується симплекс-методом. Нехай на останній ітерації обмеження до цієї задачі прийме вигляд:

………………………………

Як відомо, оптимальне рішення задачі (3,2) буде вектор х^*=(β_1,…, β_m;0;…,0). Нехай існує номер і такий, що β_і – неціле (в протилежному випадку цілочисельний вектор х^* буде оптимальним розв’язком і задачі (3.1)).

Позначимо як зазвичай, [z] i {z} відповідно цілу і дробову частину числа z. При цьому, якщо β_і – не ціле число, {β_і} не дорівнює 0.

Відповідно до загальної ідеї метода відсікання перейти до розв’язку нової допоміжної ЗЛП, в якої на ряду з початковими обмеженнями, виконується правильне відсікання. Розглянемо відсікання

яке відповідає β_і такому, що {β_і} не дорівнює 0. Тоді має місце слідуюче твердження.

Теорема. Додаткове лінійне обмеження (3.3) є правильним відсіканням для задачі цілочильного лінійного програмування (3.1).

Приклад 2. Розв’язати цілочисельного ЗЛП

, - ціле j=1,2,…,n.

Розв’язуємо допоміжну ЗЛП, яка була отримана із початкової умови цілочисельності , j=1,2,…,n. Розв’язок виконуємо симплекс-таблицею.

№ п/п	сбаз	Базис	А0	-1	1	2	θ
				А1	А2	А3
0	-1 1	х1 х2	4 1	1 0	0 1	5 5	4/5 1/5
		Δ		0	0	-2
1	-1 2	х1 х3	3 1/5	1 0	-1 1/5	0 1
		Δ		0	2/5	0

На останньому кроці обмеження допоміжна ЗЛП має вигляд

По другому обмеженні будуємо правильне відсікання, яке оприділяється співвідношенням (3.3), а саме:

чи

Будуємо нову допоміжну ЗЛП, додаючи обмеження Для обмеження «канонізуємо», використовуємо додаткову змінну х₄. отримаємо задачу.

Так як останнє в компоненті вектора вільних членів є від’ємною, отриману ЗЛП розв’язуємо подвійним симплекс-методом. Обчислення проводимо у вигляді симплекс-таблиці.

№ п/п	сбаз	Базис	А0	А1	А2	А3	А4
0	-1 2 0	х1 х3 х4	3 1/5 -1	1 0 0	-1 1/5 -1	0 1 0	0 0 1
		Δ		0	2/5 00	0	0
1	-1 2 1	х1 х3 х2	4 0 1	1 0 0	0 0 1	0 1 0	-1 1/5 -1

В залежності від звичайного симплекс-метода в подвійному ведучою буде стрічка з від’ємним вільним членом, а ведучий стовпчик, який відповідає додатній симплекс-різниці.

Обчислення в подвійному симплекс-методі закінчується після того як в стовпчику вільних членів А₀ не залишається від’ємних елементів.

Таким чином, на першому кроці подвійного симплекс-методу отримано оптимальне цілочисельне рішення х^*=(4;1;0;0) допоміжної ЗЛП , звідси розв’язком цілочисельною задачі буде х^*=(4;1;0).

Відмітимо, що в практичних обчисленнях відповідність цього метода дуже повільна, реалізація приведеного алгоритму з підвищенням розмірності важка.