6.Повнота і замкненість сістем бульвих функцій. Теорема Поста.

С-ма бульових ф-цій P₂ наз. функціонально повною с-мою бульових ф-цій, якщо довільну бульову ф-цію можна виразити через ф-ції м-ни  за допомогою суперпозиції або запишимо так []_s=P₂.

Озн. Клас ф-цій  наз. Замкненим, якщо замикання []_s=

Чудові класи замкнених ф-цій

Т₀—ф., що зберігає 0. fТ_0, якщо f(0,0,0...0)=0

Т₁— ф., що зберігає конст. 1. fТ_1, якщо f(1,1,1,...1)=1

С — клас самодвоїстих ф-цій. fС, якщо f* = f.

М — клас монотонних ф-цій. f є М, якщо для довіл. кортежів АB випливало

f(А) f(В)

L—клас лінійних ф-цій. fL, якщо f=a₁x₁a₂x₂... a_nx_n a_n+1

Назва БФ	Позн.	Т0	Т1	М	L	C
константа 0	0	+	-	+	+	-
константа 1	1	-	+	+	+	-
заперечення	x¬y	-	-	-	+	+
кон’юнкція	xy	+	+	+	-	-
диз’юнкція	xy	+	+	+	-	-
додав. за модулем 2	xy	+	-	-	+	-
еквіваленція	x~y	-	+	-	+	-
імплікація	xa y	-	+	-	-	-
штрих Шефера	x|y	-	-	-	-	-
стрілка Пірса	xy	-	-	-	-	-

Теорема (ПОСТА про функціональну повноту). Для того, щоб с-ма б.ф. була функ. повною н. і д., щоб вона не містилася цілком в жодному з 5 чудових замкнених класів. Або н. і д., щоб вона містила принаймні 1 ф-цію, яка

1) не зберігає конст.0

2) не зберігає конст.1

3) не є монот.

4) не є лінійн.

5) не є самодвоїстою.

С-ма буде функ. Повною, якщо кожен стовпчик таблиці має принаймні один "–".

3