Плоскі та планарні графи.

Озн. Граф наз. плоским, якщо його можна зобразити на площині так, що лінії, які відповідають ребрам, не перетинаються.

Озн. Граф наз. планарним, якщо він ізоморфний плоскому.

Граф є планарним т. і т. т., коли кожна його компонентає планарним графом.

Теорема Ейлера. Для довільного зв’язного плоского графа виконується ф-ла Ейлера |V|-|E|+|p|=2, де |p|-к-сть граней.

Доведення: G=(V,E), нехай Т=(V,E_Т)—це його кістякове дерево. Тоді для кістякового дерева це співвідношення виконується, бо |p|=1, |E|=|V|-1.

Т G. Додоємо до кістякового дерева ребро, тоді к-сть граней збільшується на 1. І т. д. Приходимо до нашого G.

Теорема. Графи к5 і к3,3 не є планарними

к5 к3,3

Доведення: к5. від супр. к5—планарний. Тоді за насл.2 (якщо |V|>=3, то для планарного графа виконується: |E|<=3|V|-6) |10|<=3*5-6 —протиріччя

к3,3. від супр. к3,3—планарний. Довжини циклів цього графа >=4.Тоді за Лемою(G—плоский граф, тоді сума степенів усіх граней цього графа дорівн. 2|E|) 2|E|>=4|p|=4(|E|-|V|+2), 2*9>=4*(9-6+2), 18>=20—протиріччя.

Усі непланарні графи містять у собі так чи інакше к5 чи к3,3.

Теорема Куратовського. Граф G є планарним т. і т. т., коли він не містить підграфів, які стягуються до к5 або к3,3.

4. Сполуки, перестановки, розміщення. Поліноміальна теорема.

|A|=n, B_k(A)—сукупність к-елементних підм-н А

B₀(A)=порож. м-на

B₁(A)-усі одноел-тні м-ни

|B₀(A)|=1, |B₁(A)|=n,..., |B_n(A)|=1,

|B_k(A)|=C_n^k, C_n⁰ =1, C_n¹ =n, C_nⁿ =1

Теорема. Число усіх к-ел-тних підмн-н м-ни А, яка складається з n ел-тів, обмежена ф-лою: C_n^k= .

Озн. к-елементну підм-ну мн-ни |А|=n наз. сполукою або комбінацією C_n^k.

Озн. Перестановкою з n ел-тів м-ни А наз. кортеж довжини n (а_і1, а_і2, ...а_іn).

Теорема. Р_n=n!

Озн. Кортеж довжини к, утворений з ел-тів м-ни |А|=n наз. розміщенням з n по к. К-сть розміщень з n по к позн. А_n^к.

Теорема. А_n^к=k! C_n^k=n!/(n-k)!

Теорема.(про комбінації з повтореннями). Число різних перестановок, які можна утворити з n ел-тів, серед яких є к1 ел-т першого типу, к2 ел-тів другого типу і т. д., кm перестановок m-го типу дорівнює С_n(k1,k2,... km).

Теорема. С_n(k1,k2,... km)=n!/k1!k2!...km!

Теорема(поліноміальна).

(а1+а2+...+аm)ⁿ= С_n(k1,k2,... km)a1^k1a2^k2...am^km

Доведення: (а1+а2+...+аm)... (а1+а2+...+аm)

n

м-ни a1^k1a2^k2...am^km, kі >=0, k1+k2+...+km=n

3 k1 дужки 1-го типу вибир. а1

3 k2 дужки 2-го типу вибир. а2 і т. д. Комбінацій буде С_n(k1,k2,... km)ї

5. Канонічні форми бульових функцій. Алгебра Жегалкіна.

В={0,1} – бульвий алфавіт.

D_в=<Ф_в,{, ,¬,0,1}> – алгебра бульвих формул.

Теорема про розклад бульвої функції.

Будь-яка бул. функція f(x₁,x₂,x₃,...,x_n) може бути подана у вигляді

f(x₁,x₂,x₃,...,x_n)= x₁₁, x₂₂,..., x_m_m f(₁, ₂, ₃,..., _m,x_m+1,...,x_n),

де 1mn і діз’юкція береться по ввсіх можливих кортежах, пробігая від (0,0,...,0) до (1,1,...,1).

При f(₁, ₂, ₃,..., _n)=1

маємо f(x₁,x₂,x₃,...,x_n)= (x₁^1 x₂^2... x_n^n)

цей вигляд наз. Досконала Діз Нормальна Форма (ДДНФ).

Теорема: Будь-яка буль формула за допомогою еквівалентних перетворень може бути зведена до ДДНФ.

Існує ще одна канон форма Досконала Кон’юк Нормальна Форма(ДКНФ).

При f(₁, ₂, ₃,..., _n)=0

маємо f(x₁,x₂,x₃,...,x_n)= (x₁^1 x₂^2... x_n^n)

цей вигляд наз Досконала Кон’юк Нормальна Форма (ДКНФ).

Теорема:

Для будь-якіх еквівалентних буль функцій F₁ і F₂ існує послідовність еквівалентних перетворень, що переводіть F₁ в F₂.

Алгебра Жегалкіна.

G=<B,{, ,1}> – алгебра Жегалкіна, де В – всі бульові змінні.

Властивості:

1) (xy) z=x(yz) – ассоціативність

2) xy=уx – комутативність

3) x (yz)=xyxz – дистрибутивність

4) xx=0, x0=x

5) x1=¬x

Тоді f(x₁,x₂,x₃,...,x_n)=S(,,0,1,...);

Поліном Жегалкіна: a*x_j1,x_j2,...,x_jn, aВ

Теорема: Будь-яка функція може бути однозначно представлена у вигляді полінома Жегалкіна.

Алгоритм побудови:

1) Будуємо ДДНФ f

2) Замінюємо  на , так як у формулі лише одна одиниця.

3) x^=x¬

4) Розкрити дужки, застосувати тотожності.

Алгоритм (метод невизначених коефіціентів)