Операції над відношеннями:

1) також як над мн-нами;

2) R^-1 наз. Оберненням, до відношення R, якщо а R^-1 в тоді і тількі тоді, коли

в R а

3) Композицією відношень R₁*R₂ наз. R, таке що а R в тоді і тількі тоді, коли існує сМ: (а,с)  R₁ і (с,в)  R₂

4) R^* – транзитивне замікання від-ня R на М,а R^* в тоді і тількі тоді, коли існує (а₁,а₂,а₃,....,а_n М) що а₁=a, а_n=в і а₁ R а₂, а₂ R а₃, ...,а_n-1 R а_n.

Тоді R-транзітівне тоді і тількі тоді, коли R^*=R

Озн. 1) Від-ня R наз рефлексивним, якщо для будь-якого аМ а R а

2) Від-ня R наз. антірефлексивним або іррефлексивним, якщо для всіх елементів виконується (а,а)R.

3) Від-ня R наз. симетричним, якщо а R в, тоді в R а;

4) Від-ня R наз. антісиметричним, якщо а R в і в R а, тоді а=в;

5) Від-ня R наз. транзитивним, якщо а R в і в R с, тоді а R с

Відношення еквівалентності:

Озн. Від-ня R наз від-ням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Фактор – мн-на:

Нехай S_a={x, що xM, a R x} i bM, bS_a: S_b={x, що xM, b R x}.

{S_a, S_b,...} – розбиття М, тоді мн-на {S_a, S_b,... } наз. фактор–мн-ною мн-ни М за від-ням R.

Теорема: Існує взаємнооднозначна відповідність між усіма еквівалентностями на мн-ні М і всіма розбиттями мн-ни М.

Відношення часткового порядку:

Озн. Від-ня R наз від-ням часкового порядку, якщо воно рефлексивне, антіси-метричне і транзитивне.

Мн-на М наз часково впорядкованною, якщо на ній задано часковий порядок.

Мн-на М в якій 2 елементи порівняні наз лінійновпорядкованою або ланцюгом.

Ланцюг М наз цілком впорядкованним, якщо його непорожня підмн-на А має найменшій елемент.

3. Зв’язність і планарність графів. Методи перевірки зв’язності і критерій планарності графів.

Озн. Двійка G=(V,E) наз. графом, якщо V — м-на вершин, а E — м-на ребер на м-ні V.

Озн. Послідовність ребер е_і1, е_і2,...е_ік є Е наз. шляхом або маршрутом, якщо кожна пара сусідніх ребер цієї послід. має спільну вершину.

Озн. Шлях наз. ланцюгом, якщо кожне ребро в ньому зустріч. не більше 1 разу.

Озн. Циклічний шлях наз. циклом, якщо він є ланцюгом; простим циклом, коли він є простим ланцюгом(серед його вершин нема однакових).

Озн. Вершини v1 і v2 наз. зв’язними, якщо між ними існує шлях, де v1— початок, v2— кінець.

Озн. G_i , G_i=( V_i,E_i) G_i наз. компонентами зв’язності графа G

E_i= E V_i⁽²⁾, V_i⁽²⁾ —м-на двовалентних м-н.

Озн. Граф наз. зв’язним, якщо всі його вершини зв’язні між собою.

Теорема. Довіл. неорієнтов. граф однозначно представляється у вигляді прямої суми зв’язних компонент.

Теорема. Для довіл. неорієнтов. граф G або він або його доповнення є зв’язним.

Теорема. Нехай G — зв’язний граф, G=(V,E) ,e є E, розглянемо G1=(V,E\{e}):

1) Якщо ребро е належало деякому циклу, то G1 також буде зв’язним.

2) Якщо ребро е не належ. ніякому циклу, то G1—незв’язний і має 2 компоненти зв’язності.

Перевірка зв’язності графів.

Методи, які спираються на матрицю суміжності.

Теорема. Нехай А — матриця суміжності графа G=(V,E) з кількістю верщин w, тоді а_іj(к) - ел-т А_к дорівнює кількості шляхів із і в j довжини к в графі G

Доведення: Індукцією за к.

1) База індукції к=1, а_іj(1)= а_іj — 1, якщо є шлях довжини 1 з і в j; 0, якщо нема шляху довж. 1.

2) Індукційний крок, к=m-1, A^m=A^m-1A-матриці, k=m, а_іj^(m)= а_іt^(m-1) а_tj=

а_іj^(m-1) а_tj⁽¹⁾

Розглянемо окремий доданок цієї суми а_іt^(m-1) а_tj⁽¹⁾. за припущенням індукції перший множник — к-сть шляхів з і в t, другий— з t в j довжини 1, тоді їх добуток— це к-сть шляхів з і в j.

Озн. Граф наз повним, якщо між довільною парою вершин є ребро.

Озн. А*— матриця суміжності графа G*. Граф G буде зв’язним тоді і тільки тоді, коли в А* нема нульових ел-тів.

А*— матр. досяжності, зв’язності, зв’язку для G

ПОБУДОВА А*.

Звести до побудови М⁽ⁿ⁾. простіше буде:

1) С&D логічне (бульове) множення матриць, С— матр. із 0 і 1

Здійснюється моження за законом: f_ij= (c_it d_tj). Отримуємо або 0 або 1. Доведення, як у попередньої теореми.