Дискретна матЕматика

1. Зліченні та незліченні множини. Теореми Кантора.

Озн. М-на, рівнопотужна м-ні нат.чисел N, наз. Зліченою.

Рівнопотужні — значить між ними є взаємооднозначна відповідність; кожному ел-ту можна надати номер—злічена м-на.

А~N — рівнопотужна. ={a₁,a₂,...,a_n,...}

Злічені: N⁽²⁾~N, де N⁽²⁾ — м-на квадратів чисел.

Т1.2. Будь-яка нескінчена м-на М містить злічену мн-у.

Т1.3. Довільна підм-на злічен. М-ни є м-ною або зліч. або скінч.

Т1.4. Об’єднання скінченної або зліченної сукупності зліченних мн-н є зліченною мн-ю.

Наслідок 1: Мн-на всіх цілих чисел — мн-на злічена.

Наслідок 2: Мн-на раціональних чисел є мн-ною зличеною.

Наслідок 3: Декартів добуток двох злічених мн-н є мн-ю зліченою.

Наслідок 4: Декартів добуток скінченої кількості зліченіх мн-н є мн-ю зліченою.

Т1.5 Кантора. Мн-на дійсних чисел з інтервалу (0,1) є мн-на незліченою.

Нехай мн-на R з інтервала (0,1) є зліченною.

Кожному дійсному числу з інтервала (0,1) відповідає нескінченний десятковий дріб вигляду 0, а₁ а₂ а₃ ... – іраціонал.

Раціональні числа 0, в₁ в₂ в₃ ..... в_n перетворимо у 0, в₁ в₂ в₃ ... в_n-1 (в_n-1) 9999...

Злічимо числа з (0,1):

а₁=0, x₁₁ x₁₂ x₁₃ ...x_1n....

a₂=0, x₂₁ x₂₂ x₂₃ ...x_2n...

a₃=0, x₃₁ x₃₂ x₃₃ ...x_3n...

....................................

a_n=0, x_n1 x_n2 x_n3 ......x_nn....

.........................................

В цей перелік не попало як мінімум b=0, d₁ d₂ d₃ ...d_n....,де

d₁x₁₁(0,9);

d₂x₂₂(0,9);

................................

d_nx_nn(0,9);

................................

Звідси маємо, що ця мн-на незліченна.

Озн. Мн-на рівнопотужна мн-ні дійсних чисел з інтервалу (0,1) наз. контінуальною або мн-ною потужності континуум.

Т1.6 Кантора Якщо М — незлічена мн-на, а мн-на А є зліченною або скінченною підмножиною мн-ни М, то М\А~М (рівнопотужні).

Від супротивного.

Нехай М₁=М\А. Якщо М₁-незліченна, за Т1.2 виділимо скінченну мн-ну В з М₁. Тоді М₁ \В= М₂ незліченна. Утворімо дві мн-ни М₁=М\А=М₂ об’єд В

М=М₂ об’єд (А об’єд В)

тоді В~A об’єд B — бо дві злізенні

M₂~M₂

тоді М₂ об’єд В ~(А об’єд В) об’єд М₂

М\А~М

Що і треба довести.

Наслідок 1: Якщо М — нескінчена мн-на, а мн-на А є зліченною або скінченною тоді М об’єд А ~ М.

Наслідок 2: Мн-на ірраціональних чісел є контінуальною.

Озн. Число, яке не є коренем жодного мн-на з раціональними коеф. наз. трансцедентним.

Наслідок 3: Мн-на транціндентних чісел є контінуальною.

Т1.7 Кантора: Мн-на В(А) (мн-на всіх підмн-н зліченної мн-ни А ) є контіну-альною.

А – зліченна, тоді А~N

Тоді В(А)~В(N). Покажемо що В(N) – контінуальна.

Від супротивного. N–зліченна

Припустимо В(N)-зліченна, тоді В(N)={В₁, В₂, В₃, ..., Вn, ... }, B_i з N

Тоді є взаємнооднозначна відповідність В_i і m_i1 m_i2 m_i3 .....

m_ij {0,1} min=1, якщо n з B_i; 0, якщо n не з B_i

Тоді аналогічно доведеню Т1.5 маємо, що В(N) – незліченна.

2. Відношення та їх властівості. Відношення еквівалентності та часткового порядку. Фактор-множіна.

Озн. Підмн-на R з Mⁿ (n-го декартового степеня мн-ни М) наз. n-місним або n-арним відношенням на мн-ні М.

а₁,а₂,а₃,....,а_n знаходяться у відношенні R, якщо кортеж (а₁,а₂,а₃,....,а_n) належіть R.

Приклади:

1) R₁ – "менше або дорівює": 2 R₁ 17, 1 R₁ m,...

2) R₂ – "знаходяться на одній відстані від (0,0)": (3,2) R₂ (2,3), (0,0) R₂ (0,0),....

3) на мн-ні студентів факультету

R₃ – "є однокурсниками"