9.4. Инвариантность формы записи дифференциала

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x. Тогда ее дифференциал в этой точке, согласноформуле (9.5), имеет вид dy=f′(x)dx, где x − независимая переменная. Докажем, что эта форма записи дифференциалаа сохраняет свой вид и в случае, когда аргумент x сам являетсядифференцируемой функцией независимой переменной t т. е. x=ϕ(t). Это свойство дифференциалафункции называют инвариантностью формы его записи .

Теорема 9.2. 

Пусть функция x=ϕ(t) определена на множестве Dϕ, функция y=f(x) − на множестве Df, где ϕ(t)∈Df, и на множестве Dy=Dϕ определена сложная функция y=f(ϕ(t)). Предположим, кроме того, что функция ϕ(t) дифференцируема в точке t, а функция f(x) дифференцируема в точке x,соответствующей точке t. Тогда дифференциал dy может быть записан в виде

dy=f′(x)dx.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как для сложной функции y=f(ϕ(t)) аргумент t является независимой переменной, то поформуле (9.5) имеем: dy=y′tdt=(f(ϕ(t)))′tdt. Используя формулу (8.2) для производнойсложной функции и учитывая выражение для dx=ϕ(t)dt, находим

dy=(f(ϕ(t)))′tdt=f′(x)⋅ϕ′(t)dt=f′(x)dx.

Таким образом, дифференциал dy функции y=f(x), где x=ϕ(t) есть зависимая переменная, имеет тот же вид, что и дифференциал dy функции y=f(x), где x − независимая переменная. Теорема доказана.

■

Пример 9.4.

Записать дифференциал функции y=esinx при условии: 1) x − независимая переменная; 2) x=t2,  t − независимая переменная.

Р е ш е н и е.

 В первом случае по формуле (9.5) получаем

dy=y′xdx=esinx⋅cosx⋅dx.

В втором случае y=esinx=esint2 и

dy=y′t⋅dt=esint2⋅cost2⋅2t⋅dt=esinx⋅cosx⋅dx.

В обоих случаях дифференциал dy, как и следовало ожидать, имеет один и тот же вид: dy=y′x dx.

9.5. Типовые примеры

Задача 1.

Сравнить приращение Δy и дифференциал dy функции y=2x3+5x2. Найти их значения в точке x0=1при Δx=0.01.

Р е ш е н и е.

 Запишем Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=2(x0+Δx)3+5(x0+Δx)2−2x30−5x20= =(6x20+10x0)Δx+(6x0+5)(Δx)2+2(Δx)3. Согласно определению 9.2,дифференциал dy=(6x20+10x0)Δx. Очевидно, что разность Δy−dy=(6x0+5)(Δx)2+2(Δx)3 есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с Δx, т. е. Δy−dy=o(Δx) (см. формулу (9.2)). Вычислим значения Δy и dy при x0=1 и Δx=0.01:

Δy∣∣∣∣∣x0=1,Δx=0.01=(6⋅12+10⋅1)⋅0.01+(6⋅1+5+2⋅0.01)⋅(0.01)2=0.16+11.02⋅10−4=0.16+0.1102⋅10−2;

dy∣∣∣∣∣x0=1,Δx=0.01=(6⋅12+10⋅1)⋅0.01=0.16.

Разность приращения функции Δy и ее дифференциала dy в заданной точке x0=1 при Δx=0.01 равна Δy−dy=0.1102⋅10−2.

■

Задача 2.

Найти дифференциал функции y=e3x в точке x0=0 при Δx=0.1.

Р е ш е н и е.

По формуле (9.4) получим

dy=y′(x0)dx=(e3x)′∣∣∣x=0⋅(0.1)=3e3x∣∣x=0⋅0.1=3⋅0.1=0.3.

■

Задача 3.

Найти дифференциал функции y=sinx+cosx в точке x0=π.

Р е ш е н и е.

 По формуле (9.5) находим

dy=y′(x0)dx=(sinx+cosx)′∣∣x=πdx=(cosx−sinx)|x=πdx=−dx.

■

Задача 4.

Используя формулу (9.5), найти в точке x дифференциалы следующих функций: а) y1=3arctg x; б) y2=ex; в) y3=(2x−3).

Р е ш е н и е.

 а) dy1=y′1dx=3(arctg x)′dx=3dx1+x2; б) dy2=y′2dx=exdx; в) dy3=y′3dx=2dx.

■

Задача 5.

Используя свойства дифференциала, найти dy для функций y1=2u+3v, y2=u−v3, y3=u⋅v2, y4=uv+1, если u=sinx,  v=ex и x − любая точка из области определения функций y1,  y2,  y3,  y4.

Р е ш е н и е.

 Подставляя u=sinx и v=ex в заданные функции y1,  y2,  y3 и y4, получим

dy1=d(2u+3v)=d(2sinx+3ex)=2d(sinx)+3d(ex)=2cosx dx+3exdx=(2cosx+3ex)dx;dy2=d(u−v3)=d(sinx−e3x)=dsinx−de3x=cosx dx−3e3xdx=(cosx−3e3x)dx;dy3=d(u⋅v2)=ud(v2)+v2du=2sinx⋅e2xdx+e2x⋅cosx dx=e2x(2sinx+cosx)dx;dy4=d(uv+1)=(v+1)du−ud(v+1)(v+1)2=(ex+1)d(sinx)−sinx d(ex+1)(ex+1)2=                                            =(ex+1)cosx dx−sinx exdx(ex+1)2=(ex+1)cosx−sinx ex(ex+1)2dx.

■

Задача 6.

Найти приближенное значение sin31° с четырьмя десятичными знаками после точки.

Р е ш е н и е.

 Используем формулу (9.7). 1. Запишем общий вид функции: f(x)=sinx. 2. Из условия имеем x0=30°=π6; x0+Δx=31°=30°+1°=π6+π180; Δx=π180. 3. Вычислим f(x0)=sinπ6=12; f′(x0)=f′(π6)=cosπ6=3√2; df(x0)=f′(x0)Δx=3√2⋅π180. 4. Окончательно найдем по формуле (9.7):

sin31°=f(x0+Δx)≈f(x0)+df(x0)=12+3√2⋅π180≈0.5151.

■

Задача 7.

Вычислить приближенно 0.988−−−−√3 с точностью до трех десятичных знаков после точки.

Р е ш е н и е.

 1. Запишем общий вид функции: f(x)=x√3. 2. Из условия находим x0=1;  x0+Δx=0.988;Δx=0.988−x0=0.988−1=−0.012. 3. Вычислим f(x0)=1√3=1; f′(x0)=f′(1)=13x−2/3∣∣x=1=13; df(x0)=f′(x0)Δx=13(−0.012)=−0.004; 4. Поформуле (9.7) получим

0.988−−−−√3=f(x0+Δx)≈f(x0)+df(x0)=1−0.004=0.966.

■

Задача 8.

Доказать, что с точностью до бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Δx имеет место приближенная формула

(1+Δx)p≈1+pΔx,  p∈ℝ,                     (9.8)

и вычислить приближенно (1.03)5

Р е ш е н и е.

 Рассмотрим функцию f(x)=xp, где x∈(−∞,  +∞). Запишем f(x+Δx)=(x+Δx)p, dy=f′(x)Δx=pxp−1Δx. По формуле (9.7) имеем (x+Δx)p≈xp+pxp−1Δx. Полагая x=1, для достаточно малых Δx получим приближенное равенство (1+Δx)p≈1+pΔx.Применяя эту формулу для вычисления приближенного значения (1.03)5, найдем (1.03)5=(1+0.03)5≈1+5⋅0.03=1.15.

■