§ 7. Производная функции, ее свойства и приложения

7.2. Табличное дифференцирование. Производные основных элементарных функций.

Табл. 7.1. Содержит производные основных элементарных функций, полученные на основе вычисленияпредела (7.1). Приведем для примера вывод формулы 7а этой табл.

Пусть y=arccosx. Введем новые обозначения, полагая α=arccosx, β=arccos(x+Δx). Тогда x=cosα, x+Δx=cosβ, Δx=(x+Δx)−x=cosβ−cosα. Учитывая, что β→α при Δx→0, находим

y′=limΔx→0arccos(x+Δx)−arccos(x)Δx=limβ→αβ−αcosβ−cosα

Таблица 7.1

№	y=y(x)	y′(x)
1	y=xα	y′=α⋅xα−1,  α∈R
1a	y=x√	y′=12x√
1б	y=1x	y′=−1x2
2	y=αx	y′=ax⋅lna,  a∈R,  a>0,  a≠1
2a	y=ex	y′=ex
3	y=logax	y′=1x⋅logae=1x⋅lna,  a∈R,  a>0,  a≠1
3a	y=lnx	y′=1x
4	y=sinx	y′=cosx
5	y=cosx	y′=−sinx
6	y=tg x	y′=1cos2x
6a	y=ctg x	y′=−1sin2x
7	y=arcsinx	y′=11−x2√
7a	y=arccosx	y′=−11−x2√
8	y=arctg x	y′=11+x2
8a	y= arcctg x	y′=−11+x2

Используя формулу тригонометрии для разности косинусов двух углов, эквивалентность sinβ−α2~β−α2 при β→α и непрерывность функции sinx при всех x∈R, имеем

y′=limβ→αβ−αcosβ−cosα=limβ→αβ−α−2sinβ−α2sinβ+α2=limβ→aβ−α−2sinβ−α2⋅limβ→a1sinβ+α2=                                                                      =limβ→a−1sinβ+α2=−1sinα=−1sin(arccosx)=−11−x2−−−−−√.

Следовательно, (arccosx)′=−11−x2√.

Производные, включенные в табл. 7.1, называют табличными, а дифференцирование функций с использованием этой табл. называют табличным дифференцированием.

Пример 7.7.

Найти производные функций y1=1x2√5 и y2=log2x .

Р е ш е н и е.

 Используя формулу 1 табл. 7.1 при α=−25 для y1 и формулу 3 при a=2 для y2, найдем

y1′=−25⋅x−25−1=−25⋅x−75,  y2′=1x⋅log2e=1xln2.

Теорема 7.1. (необходимое условие существования производной)

Если функция f(x) имеет производную в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

По условию в точке x существует производная функции f(x), т.е. существует конечный предел

limΔx→0ΔyΔx=y′(x).

Из теоремы 4.3 о связи функции и ее предела следует, что ΔyΔx=y′(x)+α, где α→0 при Δx→0. Отсюда Δy=(y′(x)+α)Δx. Следовательно, Δy→0 при Δx→0, что и означает непрерывность функции f(x) в точке x.

■

Отметим, что утверждение, обратное теореме 7.1, неверно, т.е. из непрерывности функции y=f(x) в точке x не следует существования производной в этой точке. Так, функция y=|x|, непрерывная в точке x=0, не имеет производной в этой точке (см. пример 7.3).

7.3. Свойства производной

Теорема 7.2. 

Если существуют производные функций u=u(x) и v=v(x) в точке x0, то в этой точке существует производная суммы u+v=y, причем

y′(x0)=u′(x0)+v′(x0)

или

(u+v)′=u′+v′           (7.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Давая приращение Δx аргументу x в точке x0, получим приращения Δu, Δv и Δy функций u, v и y=u+v в этой точке. Запишем

Δy=(u+Δu)+(v+Δv)−(u+v)=Δu+Δv

Тогда ΔyΔx=ΔuΔx+ΔvΔx. По теореме 4.12 о пределе суммы двух функций находим

y′=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0ΔuΔx+limΔx→0ΔvΔx=u′+v′

т.е. (u+v)′=u′+v′. Теорема доказана.

■

Пример 7.8.

Найти производные функций: а) y=x2+sinx; б) y=arctg x+ex.

Р е ш е н и е.

 а) y′=(x2)′+(sinx)′=2x+cosx; б) y′=(arctg x)′+(ex)′=11+x2+ex.

Теорема 7.3. 

Если существуют производные функций u=u(x) и v=v(x) в точке x0, то в этой точке существует производная произведения u⋅v=y, причем

y′(x0)=u′(x0)⋅v(x0)+u(x0)⋅v′(x0)

или

(uv)′=u′v+uv′         (7.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Давая приращение Δx аргументу x в точке x0, получим приращения Δu, Δv и Δy функций u, v и y=u⋅v в этой точке, причем

Δy=(u+Δu)(v+Δv)−u⋅v=Δu⋅v+u⋅Δv+ΔuΔv

Составим отношение

ΔyΔx=ΔuΔx⋅v+u⋅ΔvΔx+ΔuΔx⋅Δv           (7.4)

В силу необходимого условия существования производной функции v(x) (см. теорему 7.1) имеем Δv→0 при Δx→0. Кроме того, по условию, предел limΔx→0ΔuΔx существует и конечен. Переходя к пределу Δx→0 при в равенстве (7.4) и используя теорему 4.12, получим

y′=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0ΔuΔx⋅v+u⋅limΔx→0ΔvΔx+limΔx→0(ΔuΔx⋅v)=u′⋅v+u⋅v′

Следовательно, (uv)′=u′⋅v+u⋅v′, что и требовалось доказать.

■

Если v(x)=C, то (u⋅v)′=(uC)′=Cu′(x), т.е. постоянный множитель выносится за знак производной.

Пример 7.9.

Найти производную функции y=3x⋅cosx.

Р е ш е н и е.

 Используя формулу (7.3), найдем y′=3(xcosx)′=3(x′cosx+x(cosx)′)=3(cosx−xsinx).

Теорема 7.4. 

Если существуют производные функций u=u(x)  и v=v(x) в точке x0 и v(x0)≠0, то в этой точке существует производная частного uv=y, причем

y′(x0)=u′(x0)v(x0)−u(x0)v′(x0)v2(x0),  v(x0)≠0

или

(uv)′=u′v−uv′v2,  v≠0        (7.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Давая приращение Δx аргументу x в точке x0, получим приращения Δu и Δv функций u и v в этой точке. Соответствующее приращение функции y имеет вид

Δy=u+Δuv+Δv−uv=u⋅v+Δu⋅v−u⋅v−u⋅Δvv(v+Δv)=Δu⋅v−u⋅Δvv(v+Δv)

Запишем отношение

ΔyΔx=ΔuΔx⋅v−u⋅ΔvΔxv(v+Δv)

Отсюда, переходя к пределу при Δx→0 и используя теоремы 4.12, 4.13, найдем

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0ΔuΔx⋅v−u⋅limΔx→0ΔvΔxlimΔx→0v(v+Δv)

По теореме 7.1 приращение Δv→0 при Δx→0. Учитывая, что limΔx→0ΔuΔx=u′(x0), limΔx→0ΔvΔx=v′(x0), из последнего равенства окончательно получим формулу формулу (7.5) для производной частного uv функций u и v. Теорема доказана.

■

Пример 7.10.

Найти производные функций y1=excosx, y2=xex+sinxlnx.

Р е ш е н и е.

 Используя формулу формулу (7.5) и формулы 2а и 5 табл. 7.1, получим

y1′=(ex)′cosx−ex(cosx)′cos2x=excosx−ex(−sinx)cos2x=ex(cosx+sinx)cos2x

Учитывая формулы (7.2), (7.3) и (7.5), а также формулы 1, 2а и 4 табл. 7.1, найдем

y2′=(x⋅ex)′+(sinxlnx)′=x′⋅ex+x⋅(ex)′+(sinx)′lnx−sinx(lnx)′ln2x=                        ​​                            =ex+x⋅ex+cosx⋅lnx−sinx⋅1xln2x=ex+x⋅ex+x⋅cosx⋅lnx−sinxx⋅ln2x.

7.4. Геометрический и механический смысл производной

Определение 7.2.

Пусть дан график функции y=f(x), определенной в окрестности точки x0 (рис. 7.2). Касательной к графику функции y=f(x) в точке M(x0, f(x0)) называется предельное положение секущей MN при стремлении точки N к точке M по кривой.

Установим геометрический смысл производной f′(x0). По определению 7.1 производная f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx. Числа x0, Δx, x0+Δx, f(x0), f(x0+Δx), f(x0+Δx)−f(x0)геометрически выражают соответственно длины следующих отрезков: OA, AB=MC, OB, AM=BC, BN, NC. Тогда дробь f(x0+Δx)−f(x0)Δx=NCMC есть отношение катетов прямоугольного треугольника MCN, т.е. тангенс угла ϕ=∠NMC. Если Δx→0, то точка N стремится по кривой к точке M, причем секущая MN стремится занять положение касательной к кривой в точке M. Тогда y′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=limN→Mtgϕ=tgϕ0, где ϕ0 - угол между положительным направлением оси Ox и касательной к кривой в точке M.

Рис. 7.2

Итак, геометрический смысл производной состоит в следующем: производная y′(x0) функции y=f(x) в точке x0 равна тангенсу угла между положительным направлением оси Ox и касательной к кривой y=f(x) в точке M(x0, f(x0)), т.е. угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке M(x0, f(x0)).

Пример 7.11.

Определить угол α наклона линии y=ex к положительному направлению оси Ox в точке пересечения линии с осью Oy.

Рис. 7.3

Р е ш е н и е.

 График функции y=ex пересекает ось Oy в точке x0=0. Тангенс искомого угла αравен тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ox касательной к кривой y=ex в точке x0=0 (рис. 7.3) и, следовательно, равен значению производной функции y=ex в указанной точке. Так как y′(x)=ex, то y′(0)=e0=1=tgα. Отсюда искомый угол α=45°.

Выясним механический смысл производной. Пусть материальная точка движется по прямой так, что в каждый момент времени t она находится на расстоянии s(t) от некоторой начальной неподвижной точки O. В этом случае функция s=s(t) определяет закон движения этой точки. За промежуток времени Δt от момента t до момента t+Δt точка пройдет путь, равный s(t+Δt)−s(t). Средняя скорость vcp(t)такого движения равна vcp(t)=s(t+Δt)−s(t)Δt. За истинную скорость v(t) движения точки в момент tпринимают предел средней скорости vcp(t) при неограниченно уменьшении промежутка времени Δt, т.е.

v(t)=limΔt→0vcp(t)=limΔt→0s(t+Δt)−s(t)Δt=s′(t)

Таким образом, с механической точки зрения производная функции s=s(t), задающей закон прямолинейного движения точки, равна мгновенной скорости движения точки в момент времени t. В более широком смысле - производная f′(x0) функции y=f(x) в точке x0 равна скорости изменения функции y=f(x) в точке x0.

Пример 7.12.

Летательный аппарат (ЛА) движется по закону s(t)=t2м. Определить:

а) среднюю скорость движения ЛА за первые 3 секунды пути;

б) скорость в момент времени t=3с.

Р е ш е н и е.

 а) Найдем среднюю скорость vcp(t) по формуле

vcp(t)=s(t+Δt)−s(t)Δt=(t+Δt)2−t2Δt=t2+2tΔt+(Δt)2−t2Δt=2t+Δt

. При t=0, Δt=3 имеем vcp=2⋅0+3=3 (м/с). б) Определим скорость v(t) в момент t=3:v(3)=s′(3)=2t|t=3=2⋅3=6 (м/с).

7.5. Уравнения касательной и нормали к графику функции

Пример 7.13.

Вывести уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке M(x0, y0)(рис. 7.4).

Рис. 7.4

Р е ш е н и е.

 Уравнение прямой с угловым коэффициентом k=tgα, проходящей через заданную точку M(x0, y0), имеет вид

y−y0=k(x−x0)

. Так как угловой коэффициент k касательной к графику функции y=f(x) равен значению производной функции в точке касания, т.е. k=y′(x0), то уравнение касательной, как прямой, проходящей через точку касания (x0, y0), запишется в виде

y−y0=y′(x0)(x−x0)          (7.6)

.

Пример 7.14.

Записать уравнение касательной к графику функции y=tg x в точке O(0, 0).

Р е ш е н и е.

 Учитывая формулу 6 табл. 7.1, найдем угловой коэффициент k касательной в точке O(0, 0):

k=y′(0)=(tg x)′|x0=0=1cos2x∣∣∣x0=0=1

Уравнение касательной (7.6) примет вид y−0=1⋅(x−0), или y=x.

Пример 7.15.

Записать уравнение касательной к кривой y=lnx в точке ее пересечения с осью Ox.

Р е ш е н и е.

 Найдем абсциссу точки M пересечения кривой с осью Ox из уравнения lnx=0. Отсюда x0=1. Очевидно, что y0=y(x0)=ln1=0. Составим уравнение касательной в точке M(1, 0). Найдем угловой коэффициент касательной в этой точке, использую формулу 3а табл. 7.1: y′(1)=(lnx)′|x0=1=1x∣∣x0=1=1. Подставим x0=1, y0=0, y′(1)=1 в уравнение (7.6), получим искомое уравнение касательной: y−0=1(x−1), или y=x−1.

Определение 7.3.

Нормалью к кривой в заданной точке M называется прямая, проведенная через эту точку перпендикулярно касательной к кривой в точке M (рис. 7.4)

.

Пример 7.16.

Вывести уравнение нормали к кривой y=f(x) в заданной точке M(x0, y0).

Р е ш е н и е.

 Угловые коэффициенты k1 и k2 двух взаимно перпендикулярных прямых удовлетворяют условию k1=−1k2. Так как касательная и нормаль к кривой взаимно перпендикулярны и угловой коэффициент касательной в точке x0 равен y′(x0), то угловой коэффициент нормали равен −1y′(x0). Запишем уравнение нормали, как уравнение прямой с угловым коэффициентом k=−1y′(x0), проходящей через заданную точку M(x0, y0), в виде

y−y0=−1y′(x0)(x−x0)          (7.7)

.

Пример 7.17.

Записать уравнение нормали к кривой y=ex в точке M(0, 1).

Р е ш е н и е.

 Так как y′(x)=(ex)′=ex (см. формулу 2а табл. 7.1), то y′(0)=e0=1. Угловой коэффициент нормали в точке M(0,1) будет равен −1y′(0)=−1. Следовательно, уравнение нормали (7.7) имеет вид y−0=−1⋅(x−0), или y=−x.

Пример 7.18.

Записать уравнение нормали к кривой y=lnx в точке ее пересечения с осью Ox.

Р е ш е н и е.

 В примере 7.15 найдены точка M(1, 0) пересечения данной кривой с осью Ox и угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке равный y′(1)=1. Угловой коэффициент нормали в точке M(1, 0) будет равен −1y′(1)=−1, и уравнение нормали(7.7) примет вид y−0=−1(x−1), или y=1−x.

7.6. Типовые примеры

Задача 1.

Вычислить производную функции y=5x2−7x−4 в точке x0=1, используя формулу (7.1).

Р е ш е н и е.

 Найдем Δy=f(1+Δx)−f(1)=5(1+Δx)2−7(1+Δx)−4−5+7+4=3Δx+5Δx2. Разделим Δy на Δx: ΔyΔx=3+5Δx. По формуле (7.1) получим

y′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(3+5Δx)=3

.

■

Задача 2.

Найти производную функции y(x)=12x+1 в точке x, используя формулу (7.1).

Р е ш е н и е.

 Очевидно, что

Δy=f(x+Δx)−f(x)=12(x+Δx)+1−12x+1=2x+1−2x−2Δx−1((2x+1)+2Δx)(2x+1)==−2Δx(2x+1)2+2(2x+1)Δx

. Для производной y′(x) получим

y′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−2Δx((2x+1)2+2(2x+1)Δx)Δx=−2(2x+1)2

.

■

В примерах 3-6 найти производные функций в точке x0∈Dy, используя формулы для производных основных элементарных функций и свойства производных (Dy - область определения функции y=f(x)).

Задача 3.

y=2x3−5x2+7x+4, x0=x∈Dy.

Р е ш е н и е.

y′=(2x3)′−(5x2)′+(7x)′+(4)′=2(x3)′−5(x2)′+7(x)′+(4)′==2⋅3x2−5⋅2x+7⋅1+0=6x2−10x+7

.

■

Задача 4.

y=exarctg x, x0=0.

Р е ш е н и е.

 y′=(ex)′arctg x+ex(arctg x)′=ex⋅arctg x+ex⋅11+x2, y′(0)=1.

■

Задача 5.

y=sinxx2, x0=x∈Dy.

Р е ш е н и е.

 y′=x2⋅(sinx)′−sinx⋅(x2)′(x2)2=x2⋅cosx−sinx⋅2xx4=xcosx−2sinxx3.

■

Задача 6.

y=lnxx, x0=e.

Р е ш е н и е.

 y′=(lnx)′⋅x−lnx⋅(x)′(x)2=1−lnxx2, y′(e)=0.

■

Задача 7.

Найти угол α наклона к положительной полуоси Ox касательной к кривой y=sinx в начале координат.

Р е ш е н и е.

 1) Находим производную заданной функции и вычислим ее значение в точке касания O(0, 0): y′(x)=cosx, y′(0)=1. 2) Полагаем угловой коэффициент k касательной равным значению производной в точке касания: k=tgα=y′(0)=1. 3) Определяем угол α наклона касательной: α=arctg 1=45°.

■

Задача 8.

Найти угол α, под которым кривая y=1+x3 пересекает ось Ox (α - угол между осью Ox и касательной к кривой в точке ее пересечения с осью Ox).

Р е ш е н и е.

 1) Определим точку x0 пересечения кривой y=1+x3 с осью Ox из условия y=0, или 1+x3=0. Отсюда, x0=−1. 2) Найдем производную функции y=1+x3 и вычислим ее значение в точке x0=−1: y′(x)=3x2, y′(−1)=3. 3) Так как тангенс искомого угла αравен значению производной в точке x0=−1, т.е. tg α=y′(−1)=3, то α=arctg 3.

■

Задача 9.

Найти угол между кривыми y1=x2 и y2=x4. (За угол между кривыми принимают наименьший из двух смежных углов, образуемых касательными к кривым в точке их пересечения.)

Р е ш е н и е.

 1) Найдем точки пересечения кривых y1 и y2 из уравнения y1=y2, или x2=x4. Отсюда x1=0; x2=1; x3=−1. Следовательно, точки M1(0, 0), M2(1, 1), M3(−1, 1) - точки пересечения кривых. 2) Вычислим угловые коэффициенты k1(x) и k2(x) касательных к данным кривым y1(x) и y2(x) в точках их пересечения M1(0, 0), M2(1, 1), M3(−1, 1):

k1(x)=y1′(x)=2x

k2(x)=y2′(x)=4x3

В точке M1 имеем: k1(0)=0, k2(0)=0; в точке M2 - k1(1)=2, k2(1)=4; в точке M3 - k1(−1)=−2, k2(−1)=−4. 3) Обозначим через ϕ1, ϕ2, ϕ3 углы между касательными к данным кривым соответственно в точках M1, M2, M3. Если α и β - углы наклона прямых к положительной полуоси Ox, то угол между этими прямыми ϕ=α−β (ϕ≤π2). В данном случае tg  α=k1, tg β=k2. 4) Найдем tg ϕ, подставляя найденные значения k1 и k2 в формулу для тангенса разности двух углов:

tg ϕ=tg (α−β)=tg α−tg β1+tg α⋅tg β=∣∣∣k1−k21+k1⋅k2∣∣∣

. Отсюда для точек M1, M2, M3 соответственно получим: tg ϕ1=0, tg ϕ2=29, tg ϕ3=29. Следовательно, ϕ1=0, ϕ2=ϕ3=arctg 29.

■

Задача 10.

Пусть закон движения летательного аппарата (ЛА) по оси Ox имеет вид x(t)=3t3−t2. Найти скорость движения v(t) ЛА в моменты времени t0=0, t1=1, t2=2 (x задается в метрах, t - в секундах).

Р е ш е н и е.

 1) Найдем скорость движения ЛА в произвольный момент времени t: v(t)=x′(t)=9t2−2t. 2) Вычислим значения скорости в заданные моменты времени: v(0)=x′(0)=0 м/с, v(1)=x′(1)=7 м/с, v(2)=x′(2)=32 м/с.

■

Задача 11.

По оси Ox движутся в одном направлении две ракеты, имеющие законы движения x1(t)=12t2 и x2(t)=100+5t, где t>0. С какой скоростью удаляются эти ракеты друг от друга в момент встречи (xзадается в метрах, t - в секундах)?

Р е ш е н и е.

 1) Определим момент встречи ракет из уравнения x1(t)=x2(t), или 12t2=100+5t, t2−10t−200=0. Отсюда t1=20, t2=−10. Так как t>0, то момент встречи t1=20с. 2) Найдем скорости движения ракет в момент встречи t1:v1(t1)=x1′(t1)=t|t=20=20м/с; v2(t1)=x2′(t1)=5 м/с. 3) Искомая скорость v0 удаления ракет друг от друга в момент t=t1 равна разности скоростей их движения, т.е. v0=v1(t1)−v2(t1)=20м/с−5м/с=15м/с.

■

Задача 12.

Записать уравнения касательной и нормали к кривой y=x3 в точке с абсциссой x0=1.

Р е ш е н и е.

 1) Запишем уравнения касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке M(x0, f(x0))соответственно в виде

y−y0=k(x−x0)

и

y−y0=−1k(x−x0),

, где k=y′(x0). 2) Вычислим y0=y(x0). Так как x0=1, то y0=y(1)=x3∣∣x=1=1. 3) Найдем k=y′(1)=(x3)′∣∣x=1=3x2∣∣x=1=3. 4) Подставляя значения x0=1, y0=1, k=3 в уравнение касательной, получим y−1=3(x−1), или 3x−y−2=0. Уравнение нормали запишем в виде y−1=−13(x−1), или x+3y−2=0.

■

Задача 13.

В какой точке M(x0, y0) касательная к кривой y=x4 перпендикулярна прямой x+4y+8=0?

Р е ш е н и е.

 1) Найдем угловой коэффициент k1 касательной к данной кривой в точке M(x0, y0):

k1=y′(x0)=(4x3)′∣∣x=x0=4x30

. 2) Запишем уравнение данной прямой x+4y+8=0 в виде y=−14x−2. Угловой коэффициент этой прямой k2=−14. 3) По условию k1=−1k2, или 4x30=−1−14=4. Отсюдаx30=1 и x0=1. Тогда y0=y(x0)=x4∣∣x0=1=1. 4) Следовательно, искомая точка есть точка M(1, 1).

■