13.1. Возрастание и убывание функции

Согласно определению 3.12 функция f(x) называется возрастающей ( убывающей) на данном интервале, если для любых точек x1 и x2 этого интервала из неравенства x1<x2 следует неравенство f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)). Другими словами, функция f(x) возрастает (убывает) на данном интервале, если в каждой точке x этого интервала приращение аргумента Δx и соответствующее ему приращение функции Δy=f(x+Δx)−f(x) имеют одинаковые (противоположные) знаки.

Рис. 13.1

Рис. 13.2

Теорема 13.1. (необходимое условие возрастания ( убывания) дифференцируемой функции)

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале и возрастает (убывает) на нем. Тогда в любой точке x этого интервала f′(x)≥0 (f′(x)≤0).

Рис. 13.3

Геометрически утверждение теоремы 13.1 означает, что в каждой точке графика возрастающей функции касательная либо образует острый угол с положительным направлением оси Ox, либо параллельна оси Ox, а в каждой точке графика убывающей функции касательная либо образует тупой угол с положительным направлением оси Ox, либо параллельна оси Ox (рис. 13.1 и 13.2).

Например, функция y=x5 возрастает на всей числовой оси. Ее производная y′=5x4 неотрицательна при всех x. Касательная к графику данной функции в точке O(0,  0) параллельна оси Ox, а в остальных точках графика образует с осью Ox острый угол (рис. 13.3).

Теорема 13.2. ( достаточное условие возрастания (убывания) функции )

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале и в каждой точке x этого интервалаf′(x)>0 (f′(x)<0). Тогда функция f(x) возрастает (убывает) на данном интервале.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть на некотором интервале f′(x)>0 и x1,  x2  − две произвольные точки этого интервала. Тогда по теореме Лагранжа (см. теорему 11.2) f(x2)−f(x1)=f′(ξ)⋅(x2−x1), где точка ξлежит между точками x1 и x2. Так как по условию f′(ξ)>0, то знаки разностей (x2−x1) и f(x2)−f(x1) совпадают, т. е. функция f(x) возрастает на данном интервале.

Для случая f′(x)<0 доказательство аналогично.

■

Определение 13.1.

Интервал, на котором функция возрастает (убывает), называется интервалом возрастания ( убывания) функции. Интервалы возрастания и убывания называются интервалами монотонностифункции.

Пример 13.1.

Найти интервалы монотонности функции y=x2−6x+7.

Р е ш е н и е.

 Функция определена на всей числовой оси. Найдем первую производную: y′=2(x−3).Имеем y′>0 при x>3, y′<0 при x<3. Следовательно, данная функция убывает на интервале (−∞,  3) и возрастает на интервале (3,  +∞), т. е. эти интервалы являются интервалами монотонности данной функции.

Пример 13.2.

Найти интервалы монотонности функции y=x2−−√3.

Рис. 13.4

Р е ш е н и е.

 Функция определена на всей числовой оси. Найдем первую производную: y′=23⋅x√3.Очевидно, что y′<0 при x<0 и y′>0 при x>0. Следовательно, на интервале (−∞,  0) функция убывает, а на интервале (0,  +∞) − возрастает. Интервалымонотонности (−∞,  0) и (0,  +∞) разделяет точка x=0, в которой производная y′=∞ (рис. 13.4).

Определение 13.2.

Критической точкой функции y=f(x) по первой производной называется точка из области определения функции, в которой производная этой функции равна нулю или не имеет конечного значения.

Определение 13.3.

Точка x0 из области определения функции y=f(x), в которой f′(x0)=0, называется точкой стационарности функции y=f(x). Иначе говоря, точка стационарности функции есть нуль ее производной.

Пример 13.3.

Найти критические точки функции y=x3−x√3 по первой производной.

Р е ш е н и е.

 Область определения функции -- вся числовая ось. Находим первую производную:

y′=13−13⋅x2−−√3=13⋅x2−−√3−1x2−−√3.

Очевидно, что y′(0) при x2−−√3=1, y′=∞ при x=0. Следовательно, точки стационарности функции x1,2=±1 и точка x3=0 являются критическими точками функции по первой производной.

Замечание 13.1.

Пусть функция y=f(x) в своей области определения дифференцируема всюду за исключением, быть может, конечного числа точек. Можно доказать, что в этом случае интервалымонотонности функции разделяются ее критическими точками по первой производной. Обратное утверждение неверно, т. е. не каждая критическая точка функции по первой производной будет разделять интервалы монотонности.

Замечание 13.2.

Условимся точку (x0,  f(x0)) кривой y=f(x), в которой проведена касательная, обозначать для краткости только ее абсциссой x0.

Пример 13.4.

Найти интервалы монотонности функции y=f(x), график которой изображен на рис. 13.5.

Рис. 13.5

Р е ш е н и е.

 Данная функция не имеет конечной производной в точках x2,  x4 и x7: в точках x2 и x7правая и левая касательные не совпадают (нет общей касательной к кривой в этих точках). Производная f′(x4)=∞, и в точке x4 кривая имеет вертикальную касательную. В точках x1,  x3,  x5,  x6 производная f′(x) равна нулю, и касательная к графику в этих точках параллельна оси Ox. Следовательно, точки x1,  x2,  x3,  x4,x5,  x6,  x7 являются критическими точками данной функции по первой производной. На интервалах (a,  x1),  (x2,  x3) и (x5,  x7) функция возрастает, на интервалах (x1,  x2),  (x3,  x5) и (x7,  b) убывает, т. е. эти интервалы являются интерваламимонотонности функции. Они разделяются критическими точками x1,  x2,  x3, x5,  x7.Критические точки x4 и x6 не разделяют интервалы монотонности.

Пример 13.5.

Найти интервалы возрастания и убывания функции y=(x−4)x√3.

Р е ш е н и е.

 Область определения функции -- вся числовая ось. Определим критические точки функции по первой производной. Имеем

y′(x)=x√3+(x−4)⋅13⋅x2−−√3=3x+x−43⋅x2−−√3=4(x−1)3⋅x2−−√3.

Очевидно, что y′(x)=0 при x=1, y′(x)=∞ при x=0. Итак, функция имеет двекритические точки: x1=0 и x2=1. Найдем интервалы монотонности. Критические точки разбивают область определения на три интервала: (−∞,  0), , (0,  1) и (1,  +∞). Определим знак первой производной y′(x)=4(x−1)3⋅x2√3 на каждом из этих интервалов. Имеем y′(x)>0 для x∈(1,  +∞) и y′(x)<0 для x∈(−∞,  0)∪(0,  1). Следовательно, на интервале (1,  +∞) функция возрастает, на интервалах (−∞,  0),  (0,  1) − убывает.