4.3. Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими операциями

Теорема 4.12. 

Пусть существуют конечные пределы limx→af1(x)=b1 и limx→af2(x)=b2. Тогда существуют конечные пределы суммы, разности и произведения функций f1(x) и f2(x) причем

limx→a(f1(x)±f2(x))=b1±b2, limx→a(f1(x)⋅f2(x))=b1⋅b2.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Докажем эту теорему для суммы двух функций (для разности и произведения двух функций доказательства аналогичны).

На основании  теоремы 4.4 о связи функции и её предела, функции f1(x) и f2(x) можно записать в виде f1(x)=b1+α1(x) и f2(x)=b2+α2(x), где α1(x) и α2(x) — бесконечно малые при x→a. Тогдаf1(x)+f2(x)=(b1+α1(x))+(b2+α2(x))=(b1+b2)+(α1(x)+α2(x)). Суммаα1(x)+α2(x) есть бесконечно малая при x→a (см.  теорему 4.5). Таким образом, функцияf1(x)+f2(x) представлена в виде суммы числа (b1+b2) и бесконечно малой(α1(x)+α2(x)). Следовательно, limx→a(f1(x)+f2(x))=b1+b2. Теорема доказана.

■

Замечание 4.5.

Теорема 4.12 верна для алгебраической суммы или произведения любого конечного числа функций, имеющих при x→a конечный предел. Если в произведении все сомножители равны, то

limx→a(f(x))n=limx→a(f(x)⋅f(x)⋅…⋅f(x))=limx→af(x)⋅limx→af(x)⋅…⋅limx→af(x)=(limx→af(x))n.

Отсюда следует вывод: предел степенной функции с натуральным показателем n равен n-йстепени предела основания, если предел основания существует. В частности, limx→axn=an.

Например, limx→2(x2+x3)=limx→2x2+limx→2x3=22+23=12.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Действительно, если C — постоянный множитель, то limx→aC=C (см.  замечание 3.2) и limx→a(Cf(x))=limx→aC⋅limx→af(x)=C⋅limx→af(x).

Пусть Pn(x)=bnxn+bn−1xn−1+…+b0 — многочлен степени n. Найдём

limx→aPn(x)=limx→a(bnxn+bn−1xn−1+…+b0)=bnan+bn−1an−1+…+b0=Pn(a).

Следовательно, многочлен Pn(x) имеет предел при x→a, равный значению этого многочлена в точке a.

Пример 4.3.

Найти limx→3(3x2−2x−1).

Р е ш е н и е.

 limx→3(3x2−2x−1)=3⋅32−2⋅3−1=20.

Теорема 4.13. 

Если существуют конечные пределы limx→af1(x)=b1, limx→af2(x)=b2 и b2≠0, то существует конечный предел частного функций f1(x) и f2(x), причем limx→af1(x)f2(x)=b1b2.

Пусть Pn(x) и Qm(x) — два многочлена степени n и m соответственно. Для рациональной дробиR(x)=Pn(x)Qm(x) имеем

limx→aR(x)=limx→aPn(x)Qm(x)=limx→aPn(x)limx→aQm(x)=Pn(a)Qm(a)=R(a), Qm(a)≠0.

Следовательно, рациональная дробь имеет предел в каждой точке a, в которой знаменатель не равен нулю, и этот предел равен значению дроби в указанной точке.

Пример 4.4.

Найти limx→−1x3−5x−22x2−3x+4.

Р е ш е н и е.

 limx→−1x3−5x−22x2−3x+4=(−1)3−5⋅(−1)−22⋅(−1)2−3⋅(−1)+4=29.

Пример 4.5.

Найти limx→4x2−5x+4x2−6x+8.

Р е ш е н и е.

 В данном случае  теорему 4.13 непосредственно применить нельзя, так как при x→4предел числителя и предел знаменателя равны нулю, т.е. имеет место неопределенность вида [00]. Преобразуем дробь под знаком предела:

x2−5x+4x2−6x+8=(x−1)(x−4)(x−2)(x−4).

Разделим числитель и знаменатель дроби на x−4 (деление возможно, так как x→4,но x≠4, т.е. x−4≠0. Окончательно получим

limx→4x2−5x+4x2−6x+8=limx→4x−1x−2=4−14−2=32.

Замечание 4.6.

Пусть

Pn(x)=anxn+an−1xn−1+…+a0(an≠0,n∈ℕ),Qm(x)=bmxm+bm−1xm−1+…+b0(bm≠0,m∈ℕ).

Найдем limx→∞Pn(x)Qm(x). Имеем

Pn(x)Qm(x)=anxn+an−1xn−1+…+a0bmxm+bm−1xm−1+…+b0=xn(an+an−1x−1+…+a0x−n)xm(bm+bm−1x−1+…+b0x−m)==xn−man+an−1x−1+…+a0x−nbm+bm−1x−1+…+b0x−m.

Следовательно,

limx→∞Pn(x)Qm(x)=limx→∞anxn+an−1xn−1+…+a0bmxm+bm−1xm−1+…+b0=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,   еслиn<m;anbm, еслиn=m;∞,   еслиn>m.

Пример 4.6.

Найти limx→∞5x2+6x+26x2+4x+1.

Р е ш е н и е.

 В данном случае n=m=2. Следовательно,

limx→∞5x2+6x+26x2+4x+1=56.

Пример 4.7.

Найти limx→∞3x3+2x+1x4−x+3.

Р е ш е н и е.

 Так как n=3, m=4, n˂m, то

limx→∞3x3+2x+1x4−x+3=0.

Пример 4.8.

Найти limx→∞x3+2x−13x2−4x+5.

Р е ш е н и е.

 Здесь n=3, m=2, n>m. Поэтому

limx→∞x3+2x−13x2−4x+5=∞.