- •1 Вопрос
- •2 Вопрос Обратная матрица
- •3 Вопрос
- •4 Вопрос
- •5 Вопрос Свойства определителей
- •6 Вопрос
- •7 Вопрос
- •8 Вопрос Метод Гаусса
- •9 Билет
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос Векторное уравнение прямой
- •12 Вопрос Канонические уравнения прямой
- •13 Вопрос Общее уравнение прямой
- •14 Вопрос Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •15 Вопрос Уравнение прямой в отрезках на прямой
- •16 Вопрос Урав-ние прямой, проход. Через данную точку с данным угловым коэффициентом
- •17 Вопрос Урав-ние прямой, проход. Через две точки
- •18 Вопрос
- •19 Вопрос Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •20 Вопрос Расстояние от точки до прямой
- •21 Вопрос Окружность
- •22 Вопрос Эллипс
- •23 Вопрос Гипербола
- •24 Вопрос Парабола
- •25 Вопрос Векторы в пространстве
- •26 Вопрос Скалярное произведение векторов и свойства
- •27 Вопрос Векторное произведение векторов и их свойства
- •28 Вопрос Смешанное произведение векторов и их свойства
- •29 Вопрос Общее уравнение плоскости
- •30 Вопрос
- •Расстояние от точки до плоскости
- •31 Вопрос Угол между плоскостями
- •32 Вопрос Общее и каноническое уравнение прямой в пространстве
- •33 Вопрос Условие парал-сти и перпен-сти двух прямых в пространстве. Угол между прямыми
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
- •34 Вопрос Условие параллельности и перпендик-сти прямой и плоскости
- •35 Вопрос Понятие функции. Свойства задания и основные свойства
- •36 Вопрос Основные элементарные функции
- •37 И 38 вопрос Область определения и область значений функции
- •Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:
- •40 Вопрос График функции
- •41 Вопрос Обратная функция
- •42 Вопрос Сложная функция
- •Фактически эта запись означает следующую цепочку функциональных преобразований:
- •43 Вопрос Элементарные функции
- •Основные элементарные функции
- •44 Вопрос Предел функции в точке
- •Признаки существования предела
- •45 Вопрос Бесконечно малые и большие функции и их свойства
- •46 Вопрос Теоремы о пределах
- •Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
- •Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
- •Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
- •47 Вопрос Основные приемы вычисления пределов
- •48 Вопрос
- •Первый замечательный предел
- •49 Вопрос Второй замечательный предел
- •50 Вопрос Эквивалентные бесконечно малые
- •51 Вопрос
- •Непрерывность функции
- •Свойства функций, непрерывных в точке
- •1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
- •2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
- •52 Вопрос Точки разрыва функции
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
16 Вопрос Урав-ние прямой, проход. Через данную точку с данным угловым коэффициентом
Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1, y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,
y - y1 = k(x - x1). (1)
Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x1, y1), которая называется центром пучка.
17 Вопрос Урав-ние прямой, проход. Через две точки
Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1, y1) и B(x2, y2), записывается так:
(2)
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле
(3)
18 Вопрос
Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
.
Две прямые параллельны, если k1 = k2 .
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
19 Вопрос Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Условия параллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k1 = k2. (8)
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
(9)
Условия перпендикулярности двух прямых:
а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
(10)
Это условие может быть записано также в виде
k1k2 = -1. (11)
б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства
A1A2 + B1B2 = 0. (12)
Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений (6). Прямые (6) пересекаются в том и только в том случае, когда
20 Вопрос Расстояние от точки до прямой
Теорема. Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
Доказательство. Пусть точка М 1(х 1, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :
(1)
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.
Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
Находим: k 1 = 3/5, k2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b .
k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .
Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.