![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Функция, способы задания
- •3.Сложная функция
- •4.Предел функции.
- •5.Единственность предела. Ограниченные функции.
- •6.Бесконечно малые функции, их свойства.
- •Следствия из теорем 2 – 5
- •7. Бесконечно большая функция, ее связь с бесконечно малой
- •8. Основные теоремы о пределах.
- •9. Первый замечательный предел
- •10.Второй замечательный предел.
- •11.Теорема о пределе возрастающей ограниченной функции. Число e . Натуральные логарифмы.
- •12. Сравнение бесконечно малых функций
- •13. Непрерывность функции в точке и на интервале
- •14. Приращение аргумента и функции. Второе определение непрерывности
- •15. Точки разрыва функции
- •16. Задача об определении скорости
- •17. Определение, механический и геометрический смыслы производной
- •18.Непрерывность дифференцируемой функции.
- •19. Производные алгебраической суммы, произведения, частного функций.
- •20. Производные sin X и cos X .
- •21. Производные tg X и ctg X
- •22. Производная логарифмической функции.
- •23. Производная сложной функции
- •24.Производные степенной и показательной функций.
- •25. Неявная функция и её производная
- •26. Обратная функция и её дифференцирование. Производные обратных
- •Обратная функция и ее производная
- •27. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях.
- •28. Производные и дифференциалы высших порядков
- •29.Теоремы Ферма и Ролля.
- •30. Теоремы Коши и Лагранжа
- •31. Правило Лопиталя
- •32. Возрастание и убывание функции. Монотонность. Интервалы монотонности. Достаточный признак монотонности функции.
- •33,34. Точки экстремума функции. Экстремумы функции. Необходимый признак экстремума. Критические точки. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом интервале.
- •35.Достаточный признак экстремума. Схема исследования функции на экстремум.
- •36. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки её перегиба. Достаточные признаки выпуклости, вогнутости и точек перегиба кривой.
- •37.Асимптоты кривой.
- •38. Общая схема исследования функций и построения графиков
17. Определение, механический и геометрический смыслы производной
Дана функция
.
Приращению
аргумента этой функции отвечает её
приращение
,
записанное для точки
.
Возьмём отношение
.
Предел этого
отношения при
называется производной
от функции
в точке
и обозначается
.
Итак,
(3)
или
.
(4)
Понятно, что в
каждой точке
эта производная будет своя, поэтому
производная
также является функцией от
.
Для обозначения производной применяются
также символы
.
Значение производной в конкретной точке
обозначается
или
.
Отметим, что операция нахождения
производной называется дифференцированием.
Например, для функции
имеем
.
При прямолинейном движении точки по закону скорость точки в момент определяется формулой (2):
.
Сравнив ее с
формулами (3), (4), заключаем, что в правой
части (2) стоит выражение, равное
.
Итак, скорость
точки в момент
равна производной от пути
по времени
.
В этом состоит механический
смысл производной.
Выясним теперь
геометрический смысл производной. Пусть
дана функция
.
Изобразим её график на плоскости
и на кривой
возьмём точки
и
(рис. 47 сделан для случая, когда
и
,
а если
,
то точка
будет лежать левее точки
).
Через точки
,
проведём секущую для графика данной
функции. Эта секущая образует с осью
угол
.
Из рис. 47 видно, что для треугольника
справедливо соотношение
.
(5)
Если при стремлении
точки
к точке
с любой стороны секущая
стремится к определённому положению
,
то эта прямая
называется касательной
к кривой
в её точке
.
Пусть
– угол, образованный этой касательной
с осью
,
тогда при
точка
стремится к
,
стремится к
и угол
стремится к углу
.
Так как
– непрерывная функция, то
.
Перейдём в (5) к пределу при
,
тогда
.
Предел в правой части равен
,
а согласно (3) предел в левой части
последней формулы равен
,
поэтому
.
Итак, вычисленная
в точке
производная от функции
равна
,
причём угол
образован с осью
касательной к кривой
в её точке
с абсциссой
.
В этом заключается геометрический
смысл производной.
Иначе говоря, эта производная равна
угловому коэффициенту
касательной.
18.Непрерывность дифференцируемой функции.
Функция
называется дифференцируемой
в точке
если в этой точке она имеет производную
Иначе говоря, существует предел
(6)
здесь
(7)
Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то её называют дифференцируемой в этом интервале.
Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Приращение функции
в точке
,
соответствующее приращению
и определяемое формулой (7), запишем так:
В этом соотношении перейдём к пределу
при
при этом учтём, что предел правой части
равен произведению пределов сомножителей:
В правой части первый предел, согласно
(6), существует и равен
(в силу условий теоремы, так как функция
в точке
дифференцируема). Поэтому
Но
значит,
Согласно второму определению непрерывности
функции в точке это означает, что в точке
функция
непрерывна. Теорема доказана.
Отметим, что
утверждение, обратное утверждению
теоремы, не справедливо, т. е. нельзя
утверждать следующее: если функция
непрерывна в точке, то она дифференцируема
в этой точке. Сказанное продемонстрируем
на примере функции
Она непрерывна в точке
,
так как является основной элементарной
функцией (степенной функцией), и в точке
определена (равна нулю). Производная
этой функции, как будет показано дальше,
равна
.
Но эта производная в точке
не существует, т. е. функция в этой
точке не дифференцируема, хотя и
непрерывна.