- •1.Функция, способы задания
- •3.Сложная функция
- •4.Предел функции.
- •5.Единственность предела. Ограниченные функции.
- •6.Бесконечно малые функции, их свойства.
- •Следствия из теорем 2 – 5
- •7. Бесконечно большая функция, ее связь с бесконечно малой
- •8. Основные теоремы о пределах.
- •9. Первый замечательный предел
- •10.Второй замечательный предел.
- •11.Теорема о пределе возрастающей ограниченной функции. Число e . Натуральные логарифмы.
- •12. Сравнение бесконечно малых функций
- •13. Непрерывность функции в точке и на интервале
- •14. Приращение аргумента и функции. Второе определение непрерывности
- •15. Точки разрыва функции
- •16. Задача об определении скорости
- •17. Определение, механический и геометрический смыслы производной
- •18.Непрерывность дифференцируемой функции.
- •19. Производные алгебраической суммы, произведения, частного функций.
- •20. Производные sin X и cos X .
- •21. Производные tg X и ctg X
- •22. Производная логарифмической функции.
- •23. Производная сложной функции
- •24.Производные степенной и показательной функций.
- •25. Неявная функция и её производная
- •26. Обратная функция и её дифференцирование. Производные обратных
- •Обратная функция и ее производная
- •27. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях.
- •28. Производные и дифференциалы высших порядков
- •29.Теоремы Ферма и Ролля.
- •30. Теоремы Коши и Лагранжа
- •31. Правило Лопиталя
- •32. Возрастание и убывание функции. Монотонность. Интервалы монотонности. Достаточный признак монотонности функции.
- •33,34. Точки экстремума функции. Экстремумы функции. Необходимый признак экстремума. Критические точки. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом интервале.
- •35.Достаточный признак экстремума. Схема исследования функции на экстремум.
- •36. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки её перегиба. Достаточные признаки выпуклости, вогнутости и точек перегиба кривой.
- •37.Асимптоты кривой.
- •38. Общая схема исследования функций и построения графиков
29.Теоремы Ферма и Ролля.
Теорема Ролля. Если функция непрерывна в замкнутом интервале , дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала и, кроме того, на концах интервала принимает одинаковые значения, то в этом интервале найдётся хотя бы одна точка в которой значение производной обращается в нуль.
Д оказательство. Если функция не изменяется, т. е. остаётся постоянной ( ), то и теорема для этого случая доказана. Пусть теперь функция с изменением изменяется. Пусть, например, начиная от точки с увеличением значение увеличивается, как показано на рис. 60. Тогда значение функции не является наибольшим ее значением на следова-тельно, по теореме 1 своё наибольшее значение функция примет в некоторой точке лежащей внутри интервала Следовательно, значение будет наибольшим значением функции в интервале т. е. для всех из
Теорема Ролля будет доказана, если мы покажем, что в точке в которой функция принимает наибольшее значение в интервале производная обращается в нуль. Таким образом, доказательство свелось к доказательству следующего утверждения.
Теорема Ферма. Если дифференцируемая в интервале функ-ция принимает в точке ( ) своё наибольшее значение в то в этой точке производная обращается в нуль, т. е.
Доказательство. Возьмём точку лежащую достаточно близко к точке считая, что – величина малая. Эта точка лежит правее при и левее при Так как есть наибольшее значение функции в интервале то ясно, что как для так и для , что можно переписать в виде для всех и Это неравенство умножим на число , положительное при и отрицательное при При этом знак неравенства не изменится при и изменится на обратный при . В результате получим
В этих неравенствах перейдём к пределу при и согласно теории пределов (теорема 15 главы 4) будем иметь
По условию теоремы функция дифференцируема во всех внутренних точках интервала и в точке Это значит, что существует производная Но производная равна пределу, входящему в предыдущие неравенства. Этот предел является обычным двусторонним и существует независимо от знака . Следовательно, в двух предыдущих неравенствах пределы одинаковы и равны Поэтому предыдущие неравенства можно переписать так: при при Неравенства должны выполняться одновременно, а это возможно, если Теорема Ферма доказана, а вместе с ней доказана теорема Ролля.
Условие геометрически означает, что касательная к кривой в её точке с абсциссой параллельна оси В самом деле, вычисляемая в точке производная равна тангенсу угла наклона к оси абсцисс касательной к кривой в её точке с абсциссой Если эта производная равна нулю, то и т. е. касательная параллельна оси
30. Теоремы Коши и Лагранжа
Теорема Коши. Если функции и непрерывны в замкнутом интервале и дифференцируемы во всех внутренних точках этого интервала, причём всюду в этом интервале то в найдется хотя бы одна точка ( ), для которой справедлива формула
(3)
Доказательство. Возьмём функцию
(4)
Она удовлетворяет следующим условиям:
непрерывна на действительно, непрерывна в этом интервале по условию, поэтому произведение дроби и также есть непрерывная функция на этом интервале согласно теореме о произведении непрерывных функций;
разность, стоящая в правой части (4), – непрерывная функция согласно теореме о разности непрерывных функций;
дифференцируема во всех внутренних точках интервала и имеет производную
(5)
где производные и существуют согласно условию теоремы;
значения функции на концах равны, т. е. Чтобы непосредственно убедиться в этом, надо подставить в (4) сначала затем и сравнить выражения.
Таким образом, функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, согласно которой на интервале найдется хотя бы одна точка в которой Это значит, что выражение (5) при обращается в нуль, т. е.
Учтя, что по условию теоремы, и поделив последнее соотношение на придём к формуле (3).
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна в замкнутом интервале и дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала, то в найдется хотя бы одна точка ( ), для которой справедлива формула
(6)
Доказательство. Кроме функции указанной в теореме, возьмём ещё одну функцию Она дифференцируема всюду в интервале , так как имеет производную причём Кроме того, Таким образом, эта функция вместе с функцией удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Запишем формулу (3) для этих функций: Здесь Умножив это соотношение на , получим (6). Теорема доказана.