12. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть , – бесконечно малые функции при , т. е. и . Бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией одного порядка с бесконечно малой функцией , если существует конечный предел .

Бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем , если существует конечный предел . Значит, проще говоря, стремится к нулю быстрее, чем .

Бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более низкого порядка, чем , если , т. е., упрощенно, стремится к нулю медленнее, чем .

Если не существует конечный или бесконечный предел , то говорят, что бесконечно малые функции и не сравнимы по отношению.

Бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией порядка ( – определённое число) по отношению к бесконечно малой функции , если существует конечный предел

.

Например, функция есть бесконечно малая функция второго порядка по отношению к бесконечно малой функции при . В самом деле, здесь имеем

.

Отметим, что две бесконечно малые функции и одного и того же порядка называются эквивалентными при , если .

Пример. При бесконечно малые и – эквивалентные бесконечно малые, так как предел их отношения равен единице. Действительно,

13. Непрерывность функции в точке и на интервале

Функция называется непрерывной в точке , если

. (16)

Это означает, что:

существует , т. е. функция определена в точке и всюду вблизи точки ;

существует предел (существуют равные друг другу односторонние пределы );

( ).

Как видно из (16), предел непрерывной функции можно вычислить подстановкой в функцию предельного значения ее аргумента. Кроме того, можно записать так: . Этот предел подставим в правую часть формулы (16) и получим . Это равенство показывает, что знак предела и знак непрерывной функции можно переставить.

Если функция непрерывна в каждой точке открытого интервала или замкнутого интервала , то её называют непрерывной в соответствующем интервале.

Ясно, что для замкнутого интервала соотношение (16) считаем выполненным во всех точках этого интервала, включая концы, т. е. в частности и . Здесь предел в точке представляет собой предел справа, так как слева от этой точки функция не определена. Аналогично в точке имеем предел слева, так как справа от точки функция не определена.

14. Приращение аргумента и функции. Второе определение непрерывности

функции. Геометрический смысл непрерывности функции.

Г еометрический смысл непрерывности функции заклю-чается в том, что её график представляет собой сплошную, без разрывов, линию. В самом деле, изобразим на плоскости график непрерывной функции (рис. 43). На кривой отметим точку с абсциссой , её ордината равна , т. е. . На этой же кривой возьмём точку с абсциссой , её ордината равна , т. е. . Когда абсцисса точки стремится к – абсциссе точки , ордината точки стремится к согласно (16) в силу непрерывности функции. Это означает, что при этом точка стремится к точке , и графиком функции является сплошная линия без разрывов.

Обозначим величину и назовём ее приращением аргумента рассматриваемой функции . Разность соответствующих значений функции обозначим

(17)

или, так как , , и назовём приращением функции , вычисленным для точки и соответствующим приращению аргумента..

В (16) учтём, что , т. к. предел постоянной равен этой постоянной. Этот предел подставим в правую часть (16), затем его перенесём влево и учтём, что разность пределов равна пределу разности. После этого получим . Но разность под знаком предела, согласно (17), равна . Поэтому имеем

. (18)

Здесь мы учли, что при разность . Таким образом, если функция непрерывна в точке , то при стремлении приращения аргумента к нулю, соответствующее приращение функции, вычисленное для точки , стремится к нулю. Проведя рассуждения в обратном порядке, получим, что из (18) следует (16).

Соотношение (18) иногда называют вторым определением непрерывности функции в точке. Оно равносильно исходному определению (16).