27. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях.
Дана функция
которая дифференцируема в интервале
Пусть
– произвольная фиксированная точка
этого интервала, тогда в этой точке
существует производная
.
Это означает, что существует конечный
предел (3) (см. §2)
где
есть приращение функции
в точке
соответствующее приращению
Отношение
есть функция от
(здесь
– фиксированная величина, а
изменяется и стремится к
).
Эта функция при
имеет предел
равный определённому числу, так как
– фиксированная величина. Значит
(теорема 8 главы 4), эта функция может
быть представима в виде суммы своего
предела и бесконечно малой функции:
где
– бесконечно малая функция (т. е.
при
).
Отсюда, умножив обе части последнего
соотношения на
получим
(33)
Будем считать, что
в рассматриваемой точке
производная
Тогда при
произведение
есть бесконечно малая функция одного
порядка с бесконечно малой функцией
так как предел их отношения существует
и не равен нулю. Ясно, что
также является бесконечно малой функцией
одного порядка с бесконечно малой
функцией
так как предел их отношения существует
и не равен нулю. В формуле (33)
и
суть бесконечно малые функции одного
порядка с бесконечно малой функцией
Второе слагаемое правой части этой
формулы есть бесконечно малая функция
более высокого порядка по сравнению с
,
так как предел их отношения существует
и равен нулю:
В этой ситуации первое слагаемое правой
части (33) называется дифференциалом
функции
и обозначается
Итак,
(34)
Здесь
– приращение аргумента, которое
выбирается нами независимо от
и может не быть бесконечно малой, но
если
– бесконечно малая величина (
),
то дифференциал (34) есть также бесконечно
малая величина одного порядка с
как и приращение
входящее в (33). Указанный дифференциал
отличается от приращения
на величину
более высокого порядка малости, чем
В этом случае говорят, что бесконечно
малая
является главной частью бесконечно
малой
Формула (34) для случая, когда
,
имеет вид
так как
.
Таким образом, дифференциал независимой
переменной равен приращению этой
переменной. Поэтому формулу (34) можно
записать так:
(35)
Отсюда
Таким
образом, производная представляет собой
отношение дифференциала функции к
дифференциалу аргумента.
Дифференциал
функции
при малых
отличается от приращения функции
на величину
,
значительно меньшую, чем
,
и, следовательно,
.
Последнее соотношение используется в
приближенных вычислениях. Запишем его
с учетом выражений для
следующим образом:
Для примера запишем это соотношение
для функции
:
(36)
В этом соотношении
положим
,
.
Тогда
.
Зная, что
по формуле (36) найдём приближённое
значение
28. Производные и дифференциалы высших порядков
Дана функция
,
дифференцируемая в интервале
т. е. в каждой точке этого интервала
существует производная
Эта производная в свою очередь является
функцией от
следовательно, если она дифференцируема
в интервале
то от неё можно взять производную по
,
т. е.
Последняя называется второй производной
или производной второго порядка от
функции
и обозначается
или
Но вторая производная
есть в свою очередь функция от
поэтому от неё можно взять производную
по
если последняя существует. Получаемая
производная называется производной
третьего порядка и обозначается
Продолжив процесс, найдем производную
любого порядка
от функции
Обозначают эту производную
Пусть
функция
дифференцируема в интервале
Тогда согласно (35) можно найти дифференциал
этой функции
.
Здесь дифференциал аргумента
не зависит от
но в целом
есть функция от
поэтому от нее можно найти дифференциал
,
если в рассматриваемом интервале
существует вторая производная
.
Этот дифференциал называется дифференциалом
второго порядка
от функции
и обозначается
Имеем
Но согласно (35) дифференциал правой
части равен производной по
от
,
умноженной на
Итак,
Здесь за знак производной может быть
вынесена постоянная величина
В результате получим
и
Но правая часть последнего соотношения
представляет собой функцию от
следовательно, от второго дифференциала
в свою очередь можно найти дифференциал,
если существует третья производная
функции
.
В результате получим дифференциал
третьего порядка, обозначаемый
По аналогии с предыдущим будем иметь
Продолжив процесс, найдём дифференциал
любого порядка
,
если у функции в интервале
существует производная n-го
порядка:
В последней формуле в выражении
степень пишут без скобок, тогда
Отсюда
т. е.
-я
производная представляет собой отношение
соответствующих дифференциалов.