![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Функция, способы задания
- •3.Сложная функция
- •4.Предел функции.
- •5.Единственность предела. Ограниченные функции.
- •6.Бесконечно малые функции, их свойства.
- •Следствия из теорем 2 – 5
- •7. Бесконечно большая функция, ее связь с бесконечно малой
- •8. Основные теоремы о пределах.
- •9. Первый замечательный предел
- •10.Второй замечательный предел.
- •11.Теорема о пределе возрастающей ограниченной функции. Число e . Натуральные логарифмы.
- •12. Сравнение бесконечно малых функций
- •13. Непрерывность функции в точке и на интервале
- •14. Приращение аргумента и функции. Второе определение непрерывности
- •15. Точки разрыва функции
- •16. Задача об определении скорости
- •17. Определение, механический и геометрический смыслы производной
- •18.Непрерывность дифференцируемой функции.
- •19. Производные алгебраической суммы, произведения, частного функций.
- •20. Производные sin X и cos X .
- •21. Производные tg X и ctg X
- •22. Производная логарифмической функции.
- •23. Производная сложной функции
- •24.Производные степенной и показательной функций.
- •25. Неявная функция и её производная
- •26. Обратная функция и её дифференцирование. Производные обратных
- •Обратная функция и ее производная
- •27. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях.
- •28. Производные и дифференциалы высших порядков
- •29.Теоремы Ферма и Ролля.
- •30. Теоремы Коши и Лагранжа
- •31. Правило Лопиталя
- •32. Возрастание и убывание функции. Монотонность. Интервалы монотонности. Достаточный признак монотонности функции.
- •33,34. Точки экстремума функции. Экстремумы функции. Необходимый признак экстремума. Критические точки. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом интервале.
- •35.Достаточный признак экстремума. Схема исследования функции на экстремум.
- •36. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки её перегиба. Достаточные признаки выпуклости, вогнутости и точек перегиба кривой.
- •37.Асимптоты кривой.
- •38. Общая схема исследования функций и построения графиков
5.Единственность предела. Ограниченные функции.
Теорема 1.
Если функция
имеет предел при
,
то этот предел будет единственным.
Доказательство.
Дано, что функция
при
имеет предел
.
Докажем, что никакое другое число,
например,
,
не может быть пределом этой функции при
.
Возьмём
таким малым, чтобы было
.
Так как
– предел функции
при
,
то для выбранного нами числа
найдётся такое число
,
что для всех
значения функции
будут удовлетворять неравенству (1),
следовательно, и (2). Поэтому для всех
имеем
.
(3)
Предположим, что
.
Тогда для выбранного выше числа
найдётся такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
.
Следовательно, для всех
будем иметь
.
(4)
Пусть
– наибольшее из чисел
.
Тогда для всех
выполняются оба неравенства (3), (4). Из
них получим, что
.
Но это противоречит условию, что
,
поэтому сделанное предположение должно
быть отброшено.
Функция называется
ограниченной
на некотором множестве
значений
,
если существует такое положительное
число
,
что для всех
из множества
выполняется неравенство
.
Теорема 2.
Если функция
при
имеет предел, то эта функция является
ограниченной на некотором бесконечном
интервале
.
Доказательство.
Дано, что
.
Для числа
(как и для любого
)
найдётся такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
.
Согласно свойству абсолютной величины
.
Поэтому для всех
имеет место
.
Итак, для
имеем
,
следовательно, для всех
будем иметь
.
Это означает, что функция
ограничена в интервале
.
Теорема доказана.
Теорема 3.
Если при
функция
имеет отличный от нуля предел
,
то функция
ограничена на некотором бесконечном
интервале
.
Теорема доказывается аналогично предыдущей.
6.Бесконечно малые функции, их свойства.
Функция
называется бесконечно
малой при
,
если её предел равен нулю, т. е.
.
Здесь предел
,
поэтому
.
С учётом определения предела функции
можно дать следующее определение
бесконечно малой функции: функция
называется
бесконечно
малой при
,
если для любого
найдётся такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
или символически
Например, функция
является бесконечно малой при
.
В самом деле, здесь неравенство
запишется так:
или
,
т. е.
.
Итак, для всех
имеем
для любого
.
Это означает, что
есть бесконечно малая функция при
,
и в качестве числа
,
фигурирующего в определении, можно
взять
.
При других способах изменения определение бесконечно малой функции будет аналогичным (с учётом определения предела). Например, функция является бесконечно малой при ( – конечное число), если
Свойства бесконечно малой функции
Теорема 4.
Если
– бесконечно малые функции при
,
то их сумма
также является бесконечно малой функцией,
при
.
Доказательство.
Пусть
– произвольное число, которое может
быть задано сколь угодно малым. Нужно
доказать, что для этого числа найдётся
такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
.
Для указанного
числа
возьмём число
.
Так как
является бесконечно малой функцией, то
для числа
найдётся такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
.
(5)
Так как
– бесконечно малая функция при
,
то найдётся такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
.
(6)
Пусть
– наибольшее из чисел
.
Тогда для
имеют место оба неравенства (5), (6). Поэтому
с учётом свойства абсолютной величины
суммы имеем для всех
Теорема доказана.
Если
– бесконечно малая функция, то -
тоже является
бесконечно малой функцией. Это ясно из
определения, так как
.
Ясно также, что разность двух бесконечно
малых функций есть снова бесконечно
малая функция, т. к. разность можно
записать в виде суммы
.
Доказанная теорема сразу распространяется на любое конечное число слагаемых бесконечно малых функций. Можно сказать, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций – бесконечно малая функция.
Теорема 5. Если
– бесконечно малая функция при
,
а
– ограниченная функция на некотором
бесконечном интервале
,
то произведение
– бесконечно малая функция при
.
Доказательство.
Пусть
– произвольное число, которое может
быть задано сколь угодно малым. Нужно
доказать, что для этого числа найдётся
такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
Это будет означать, что рассматриваемое
произведение есть бесконечно малая
функция при
.
Так как
– ограниченная функция в интервале
,
то существует такое число
,
что для всех точек интервала
,
т. е. для всех
,
имеет место неравенство
.
(7)
Так как
является бесконечно малой функцией при
,
то для числа
найдётся такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
. (8)
Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для всех неравенства (7) и (8) выполняются одновременно, поэтому с учётом свойства абсолютной величины произведения для всех имеем
Теорема доказана.