25. Неявная функция и её производная
Функция
называется неявной,
если она определена соотношением, не
разрешенным относительно
:
(21)
где
– известное выражение. Например, таковыми
являются соотношения
, (22)
. (23)
Если соотношение
(21) удаётся разрешить относительно
то мы придём к явному заданию. Например,
из (22) следует
Но такой переход не всегда возможен,
например, в случае функции, заданной
уравнением (23). Однако всегда можно найти
производную неявной функции. Для этого
достаточно соотношение (21) продифференцировать
по
помня, что в нём
есть функция от
Сделаем это применительно к функции,
определённой неявно формулой (23).
Соотношение (23) продифференцируем по
учитывая, что слагаемое
– произведение двух функций, а слагаемое
– сложная функция. Получим
Отсюда найдем искомую производную
(24)
В этой формуле
– значение функции, соответствующее
взятому
,
согласно (23). В частности, из соотношения
(23) видно, что значению
отвечает значение
т. к. при этих значениях соотношение
(23) выполняется. Поэтому при
производная
согласно (24), будет равна
26. Обратная функция и её дифференцирование. Производные обратных
тригонометрических функций.
Обратная функция и ее производная
Пусть дана функция
.
Выразим из этого соотношения
через
и получим
где
– аргумент, а
– функция. Эта последняя функция
называется обратной
к функции
Ясно, что на плоскости
этим функциям отвечает один график, так
как они представляют собой разные формы
записи одной и той же зависимости.
Отметим следующий
геометрически очевидный факт: если
график функции
является восходящей (нисходящей) кривой,
т. е. с увеличением абсциссы
точки кривой её ордината
увеличивается (уменьшается), то обратная
к ней функция
существует и будет однозначной, так как
каждому значению
из области значений функции
отвечает лишь одно значение
обратной функции
Теорема 12 (о
производной обратной функции).
Если
– функция, обратная по отношению к
функции
,
и
то
(25)
или коротко:
Доказательство.
Соотношение
определяет
функцию, обратную к
поэтому
Полученное
соотношение продифференцируем по
помня, что в правой части стоит сложная
функция. Тогда будем иметь
Отсюда
или
Производные обратных тригонометрических функций.
Функция
является обратной по отношению к функции
График функции
совпадает с графиком функции
.
Для любого
из интервала
на графике функции
(рис. 50) имеется бесчисленное множество
точек с абсциссой
их ординаты – значения функции.
Следовательно, эта функция является
бесконечнозначной. Возьмём ту часть
графика, где
;
на этом участке для каждого
из интервала
имеется лишь одна точка с абсциссой
В дальнейшем под функцией
всегда будем понимать ветвь функции,
значения которой лежат в интервале
и
.
Теорема 13.
Если
то
или коротко:
Д
оказательство.
Производная функции
равна
Так как функция
– обратная к
то согласно (25) имеем
(26)
М
ы
нашли искомую производную, но пока она
выражена через
а не через
Но
следовательно,
нужно выразить через
Как известно,
но функция
принимает значения из интервала
Для таких
как мы знаем,
следовательно, в предыдущей формуле мы
должны оставить знак «+». Таким образом,
.
Так как
то
Подставив это выражение в (26), получим
утверждение теоремы 13.
Ф
ункция
– обратная по отношению к функции
(см. рис. 51) В дальнейшем всегда под
функцией
будем понимать однозначную ветвь функции
,
значения которой лежат в интервале
Для этой функции справедлива следующая
Теорема 14. Если
,
то
или коротко:
Доказательство проводится аналогично предыдущему.
Функция
является обратной по отношению к функции
(см. рис. 52). Выберем её однозначную
ветвь, для которой
В дальнейшем всегда под функцией
будем понимать эту однозначную функцию.
Для нее справедлива
Теорема 15.
Если
то
или коротко:
Доказательство проводится по аналогии с доказательством теоремы 13.
Функция
является обратной по отношению к функции
.
Выберем её однозначную ветвь, а, именно,
в дальнейшем всегда под функцией
будем понимать однозначную функцию,
значения которой лежат в интервале
(рис. 53). Для этой функции справедлива
Теорема 16. Если
то
или коротко:
Доказательство проводится по той же схеме, что и в случае теоремы 12.