3.3 Нормальное распределение
Нормальным называется распределение, относительные частоты f0 которого выражаются формулой:
По этой формуле при различных значениях среднего арифметического и стандартного отклонения получается семейство нормальных кривых. Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние значения признака встречаются относительно редко, а близкие к среднему арифметическому - относительно часто. Кривая нормального распределения имеет колоколообразную форму - это одномодальное распределение, значения медианы, моды и среднего арифметического которого совпадают между собой, коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.
Рис. 4. Кривая нормального распределения.
Кривая ассимптоматически приближается к оси Х, то есть может принимать сколь угодно малые значения по ординате при стремлении Х к плюс или минус бесконечности. В зависимости от величины стандартного отклонения кривая может растягиваться или сжиматься по оси Х, а в зависимости от значения среднего арифметического она будет перемещаться влево или вправо.
Назвали распределение нормальным потому, что оно очень часто встречалось при естественнонаучных исследованиях, и его считали нормой всякого массового случайного проявления признаков. Считается, что нормальное распределение характеризует такие случайные величины, на которое воздействует большое количество факторов, причем сила воздействия одного отдельно взятого фактора значительно меньше суммы воздействия остальных факторов. По нормальному закону распределены многие биологические параметры - например, вес, рост человека. По нормальному закону распределяется и ряд психологических свойств, качеств человека - показатели интеллекта, агрессивности, тревожности и другие. Из этой предпосылки исходят при разработке и стандартизации тестовых методик.
Особое место среди нормальных распределений занимает так называемое стандартное или единичное нормальное распределение. Такое распределение получается при условии, что среднее арифметическое равно нулю, а стандартное отклонение - единице: Мх = 0, = 1. Стандартное распределение удобно тем, что к нему может быть сведено любое другое нормальное распределение путем операции стандартизации. Операция стандартизации заключается в следующем: из каждого индивидуального значения параметра вычитается среднее арифметическое значение (это называется центрированием), а полученная разность делится на значение стандартного отклонения (нормирование). Стандартизированное значение принято обозначать символом z:
Стандартизация позволяет анализировать любые нормальные распределения на основе знания характеристик единичного нормального распределения, которые приведены в таблице (Таблица1 Приложения). В этой таблице указана кумулятивная (накопленная) вероятность - то есть доля площади под кривой слева от заданной точки от общей площади (общая площадь под кривой принята равной 1.000). Зная параметры распределения величины Мх и , мы можем оценить вероятность появления наблюдений с тем или иным значением.
Например, количество прочитанных первоклассниками печатных знаков в единицу времени после обучения их по новой методике составляет: среднее значение Мх=142 знака в минуту при стандартном отклонении =47. Какова вероятность того, что при случайном выборе ученика для контроля нам попадется ученик, читающий 30 знаков или менее?
По таблице значений кумулятивной функции распределения стандартного отклонения находим, что кумулятивная вероятность выбора такого ученика равна 0.0082 (то есть 0,8%).
Какова же вероятность выбора ученика, читающего менее 200 знаков?
По таблицам находим, что кумулятивная вероятность такого выбора составляет 0.8849, то есть вероятность получения данной величины равна 0.8849 (примерно 88.5%). Соответственно, вероятность выбора ученика, читающего более 200 знаков, будет 1- 0.8849 = 0.1151, то есть чуть более 10%.
Чтобы подсчитать вероятность выбора ученика, читающего от 150 до 200 знаков, надо рассчитать кумулятивную вероятность для 200 (она равна 0.8849) и для 150 (0.5793) и взять разность между этими значениями. Мы получаем величину 0.3056, то есть примерно 30%.
Зная характеристики нормального распределения, установлено, что примерно 2/3 наблюдений, а именно 68.3%, сгруппированы в интервале среднее арифметическое плюс-минус стандартное отклонение Мх ; в интервале Мх 2 находятся 95.4% наблюдений; а в интервале Мх 3 99.7% всех наблюдений.
Поскольку операция стандартизации нормального распределения сводит любое нормальное распределение к стандартному нормальному, не имеющему размерности, то тем самым появляется возможность сравнивать между собой нормальные распределения величин, измеренных в разных единицах (метры с килограммами, баллы с градусами и так далее).