8. Изучение взаимосвязи психологических явлений

8.1 Меры связи явлений, измеренных в номинативных шкалах

Коэффициент четырехклеточной сопряженности. Когда объекты классифицированы по двум или нескольким свойствам, то результат такой классификации можно представить в виде таблиц, в которых строки будут иметь заголовки одного свойства, а столбцы - другого, а сочетания всех свойств будут рассматриваться попарно. Такие таблицы называются таблицами сопряженности. В заголовки столбцов выносятся свойства Х₁, Х₂ и т.д. до X_i, в заголовки строк У₁, У₂ и т.д. до Y_j. В клетки таблицы заносим частоту - то есть количество случаев сочетания Х₁ и У₁ (записывается Х₁ и У₁), Х₁У₂, Х₁У₃ и т.д. до Х₁У_j в первой строке, Х₂У₁, Х₂У₂ ..... X₂Y_j во второй строке, и так по всей таблице вплоть до нижней правой клетки, где будет X_iУ_j.

Силу связи между двумя явлениями, измеренными в дихотомической номинативной шкале, оценивают с помощью коэффициента четырехклеточной сопряженности Пирсона :

В данной формуле a, b, c, d - это количество случаев в каждой ячейке таблицы: a, b - в верхней строке справа налево, c и d - в нижней строке. Коэффициент  может изменяться от -1 до 1. Если он равен нулю, то связь отсутствует, если близок к нулю - связь слабая, а если приближается к 1 (или -1) или равен ей, то связь сильная.

С помощью коэффициента 4-х-клеточной сопряженности Пирсона можно непосредственно сравнивать между собой силу связи по двум и более таблицам сопряженности - коэффициент четырехклеточной сопряженности указывает, что в таблице А связь сильнее, чем в таблице Б. Статистически же точный ответ, значимо ли отличается коэффициент  от нуля, то есть значима ли связь между явлениями, можно получить с помощью критерия ² Пирсона.

где f_i - эмпирическая частота, а f_t - теоретическая частота для ячейки таблицы. Эмпирическая частота - это те значения абсолютной частоты, которые приведены в таблице сопряженности. Теоретическая частота - это та частота, которая значилась бы в данной ячейке при равномерном распределении характеристик. Теоретическая частота рассчитывается согласно правилу вероятности произведения случайных независимых событий по формуле:

где f(x_i)- сумма по соответствующей строке, f(y_j) - сумма по соответствующему столбцу, а N- общее число испытуемых.

Знак суммы в формуле критерия Пирсона говорит о том, что сложение проводится для всех клеток таблицы.

Число степеней свободы  определяется по формуле

 = (n-1)(m-1)

где n - число строк в таблице, а m - число столбцов, т.е. для четырехклеточных таблиц =1. Если эмпирическое значение критерия ² оказывается больше (или равно) критического при заданном уровне доверительной вероятности, то отличие коэффициента  от нуля признается статистически значимым.

Для четырехклеточных таблиц с числом испытуемых меньше 30 рекомендуется использовать формулу с учетом поправки Йетса на непрерывность:

Задача: Есть ли связь между результатами сдачи зачета, посещением лекций и местом проживания? Какая из этих связей более сильная?

А. Связь «посещаемость - сдача зачета»:

(здесь и ниже: цифра слева вверху ячейки - эмпирическая частота, справа внизу - теоретическая частота)

Таблица 21

	У1 - посещал лекции	У2 - не посещал лекции		Сумма по строке
Х1 - сдал зачет с 1-го раза	18 12.87	3 8.13		21
Х2-не сдал зачет с 1-го раза	1 6.13	9 3.87		10
Сумма по столбцу	19	12		Всего 31
			= 0.727

Статистическую значимость отличия коэффициента  от нуля проверим по критерию ² Пирсона:

²_эмп= (18-12.87)² ₊ (3-8.13)² ₊ (1-6.13)² ₊ (9-3.87) ² _{= 16.375}

12.87 8.13 6.13 3.87

²_кр=6.635 (=0.01)

²_эмп > ²_кр связь «посещаемость - сдача зачета» статистически значима (0.01).

Б. Связь «место проживания - сдача зачета»:

Таблица 22.

	У1 - живет дома		У2- живет в общежитии		Сумма по строке
Х1 - сдал зачет с 1-го раза	11 10.29		7 7.71		18
Х2-не сдал зачет с 1-го раза	5 5.71		5 4.29		10
Сумма по столбцу	16		12		Всего 28
		=0.107

Статистическая значимость связи «место проживания - сдача зачета» проверяется по критерию ² с учетом поправки Йетса, так как число испытуемых меньше 30:

²_эмп= (11-10.29-0.5)² ₊ (|7-7.71|-0.5)² ₊ (|5-5.71|-0.5)² + (5-4.29-0.5)² _{= 0.028}

10.29 7.71 5.71 4.29

²_кр=3.841 (=0.05)

²_эмп < ²_кр связь «место проживания - сдача зачета» статистически незначима (0.05).

Ответ: Коэффициент четырехклеточной сопряженности для зависимости «посещаемость - сдача зачета» выше, чем для зависимости «место проживания - сдача зачета», следовательно, в первой зависимости связь сильнее.

Если таблицы описывают свойства, измеренные в недихотомической шкале наименований, то они называются таблицами многоклеточной сопряженности.

Для анализа многоклеточных таблиц используются коэффициенты многоклеточной сопряженности К_ч - коэффициент Чупрова и - коэффициент Пирсона. Коэффициенты рассчитываются по формулам:

С - коэффициент многоклеточной сопряженности Пирсона:

где N - общее количество испытуемых, ²- критерий Пирсона.

К_ч - коэффициент Чупрова:

где n-число строк, m - число столбцов, N - общее количество испытуемых.

Непосредственно по коэффициентам многоклеточной сопряженности К и С, как и в случае с четырехклеточными таблицами, можно сравнивать силу связи между изучаемыми характеристиками в разных таблицах. Статистическая значимость связи и отличия от нуля коэффициентов Чупрова и Пирсона оценивается по критерию ² Пирсона аналогично четырехклеточным таблицам (с учетом поправки Йетса при количестве измерений менее 30).

Задача: При исследовании связи между удовлетворенностью профессиональной деятельностью, уровнем образования и социальным положением испытуемых получены результаты, приведенные в таблицах. Какие выводы можно сделать о силе связи между этими характеристиками?

Таблица 23.

Удовлетворенность профессиональной деятельностью		Уровень образования			Суммы по строкам
		Высшее	Ср. техн.	Среднее
		А1	А2	А3
Высокая	В1	20 12.21	10 10.89	3 9.90	33
Средняя	В2	11 16.28	15 14.52	18 13.20	44
Низкая	В3	6 8.51	8 7.59	9 6.90	23
Сумма по столбцам		37	33	30	Всего: 100

Критерий ²_эмп= (20-12.21)² ₊ (10-10.89)² ₊ (3-9.90)² ₊ (11-16.28)²₊ (15-14.52)²₊

12.21 10.89 9.90 16.28 14.52

₊ (18-13.20)² ₊ (6-8.51)² ₊ (8-7.59)² ₊ (9-6.90)² _{= 14.74}

13.20 8.51 7.59 6.90

_.Число степеней свободы =(3-1)(3-1)=4. Критическое значение критерия при 95% доверительной вероятности составляет 9.49, при 99% - 13.28. Поскольку ²_эмп >²_кр, то зависимость между уровнем образования и удовлетворенностью работой статистически значима (=0.01).

Рассчитав эмпирическое значение критерия ², можно рассчитать коэффициенты Чупрова и Пирсона:

= 0.358,

= 0.271.

Исследование связи между удовлетворенностью профессией и социальным положением испытуемых дало следующие результаты:

Таблица 24

Удовлетворенность профессиональной деятельностью		Социальное положение испытуемого				Суммы по строкам
		Предпри-ниматели	Гос. служащие	Рабочие	Тружени-ки села
		А1	А2	А3	А4
Высокая	В1	14 10.25	13 10.66	6 11.48	8 8.61	41
Средняя	В2	7 7.75	4 8.06	14 13.20	6 8.68	31
Низкая	В3	4 7.00	9 7.28	8 7.84	7 5.88	28
Сумма по столбцам		25	26	28	21	Всего:100

Критерий ²_эмп= (14-10.25)² ₊ (13-10.66)² ₊ (6-11.48)² ₊ (8-8.61)² ₊

10.25 10.66 11.48 8.61

₊ (7-7.75)² ₊ (4-8.06)² ₊(14-13.20)² ₊ (6-8.68)² ₊ (4-7.00)² ₊ (9-7.28)² ₊

7.75 8.06 13.20 8.68 7.00 7.28

₊ (8-7.84)² ₊ (7-5.88)² _{= 9.447}

7.84 5.88

Число степеней свободы =(4-1)(3-1)=6. Критическое значение критерия при 95% доверительной вероятности составляет 12.592. Поскольку ²_эмп <²_кр, то связь между удовлетворенностью профессией и социальным положением испытуемых статистически незначима (=0.05).

= 0.293,

= 0.196.

Коэффициент многоклеточной сопряженности Пирсона С для зависимости «удовлетворенность профессией - образование» выше, чем для зависимости «удовлетворенность профессией - социальное положение», следовательно, в первой зависимости связь более тесная, чем во второй. Аналогичный вывод можно сделать и по коэффициенту Чупрова К.

Следует иметь также в виду, что с помощью рассмотренных коэффициентов и критериев доказывается только отличие распределения цифр в таблице от равномерного. Для описания же характера связи между явлениями следует использовать другие методы, о некоторых из них речь пойдет ниже.