Исследование динамических характеристик сау

Передаточные функции автоматических систем

При анализе автоматической системы рассматриваются передаточные функции, относящиеся к самой системе.

Передаточная функция разомкнутой системы – отношение лапласовых изображений выходной величины Xвых к ошибке Х при нулевых начальных условиях,

Передаточная функция замкнутой системы определяется по соответствующему входу.

По заданному воздействию – главный оператор системы;

 

по возмущению

Частотная передаточная функция САУ

Частотная передаточная функция САУ получается из передаточной функции системы заменой S на iw:

.

Переходный процесс САУ

Переходный процесс может быть вызван двумя причинами: начальным отклонением координат состояния системы и появлением внешнего входного воздействия. Это собственные движения в системе.

Для построения переходного процесса необходимо получить математическую модель САУ.

Исходные дифференциальные уравнения системы составляются двумя методами: общим и с помощью передаточных функций.

Первый метод основан на имеющихся дифференциальных уравнениях элементов системы, записанных в операционной форме. Составляется система уравнений, которая разрешается относительно Xвых:

,

где – характеристический полином, определяющий свободное движение системы; – полином, характеризующий влияние задающего воздействия X3 на выходную величину Xвых; – полином, характеризующий влияние возмущающих воздействий x_f на Xвых.

Систему уравнений можно разрешить относительно ошибки, тогда

.

Допустим, САУ представлена структурной схемой (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Структурная схема САУ

Система дифференциальных уравнений:

; ; ;

; .

Использовав метод подстановки, разрешим систему уравнений относительно Xвых:

D(p) = a₀ p⁴ + a₁ p³ + a₂ p² +a₃ p + a₄;

N(p) = c₀ p³ + c₁ p² + c₂ p.

Аналогично можно разрешить систему уравнений относительно ошибки x.

Второй метод основан на передаточных функциях системы.

Необходимо получить передаточную функцию разомкнутой системы

,

где k1, k2, k3, k4 = kобщ k₁ k₂ k₃ k₄ = k_общ.

Передаточная функция управляемого объекта по возмущению

.

Подставив эти выражения в уравнение, разрешенное относительно ошибки, получим:

.

Аналогично составляем уравнения относительно Xвых:

Динамические характеристики САР можно получить аналитически с учетом фактических значений параметров всех звеньев или с использованием специальных программ (см. комплекс “Avtomat”).

Устойчивость сау

Устойчивость системы – это ее свойство возвращаться в состояние установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие.

Устойчивость – необходимое условие для автоматической системы: 

Прямой способ исследования устойчивости системы заключается в нахождении решения однородного дифференциального уравнения. Переходные процессы носят затухающий характер.

Для упрощения анализа устойчивости находят корни характеристического полинома D(s)=0 . Система является устойчивой, если все вещественные корни и действительные части комплексных корней отрицательны.

Аналитическое нахождение корней полинома возможно до третьего порядка (включительно), а при порядке более третьего используют средства вычислительной техники (см. комплекс “Avtomat”).

Широко распространен метод Найквиста для проверки устойчивости САР. Система устойчива, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1,0i) . Этот метод реализован в программном комплексе “Avtomat”.