- •Определители и их свойства
- •Решение систем линейных уравнений с помощью определителей
- •I. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
- •II. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
- •3.Линейные операции с векторами на плоскости и в пространстве.
- •4 Cкалярное произведение вектора и его свойства
- •5.Векторное произведение векторов и его свойства.
- •6. Свойства смешанного произведения векторов и его свойства
- •9. Уравнение прямой в пространстве
- •10)Уравнение плоскости
- •9. Эллипс
- •12)Гипербола
- •13.Парабола
- •14.Окружность
- •17. Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).
- •19. Непрерывность функции одной переменной.
- •20. Производная и ее свойства. Дифференциал.
- •22. Направление вогнутости и точки перегиба.
- •23.Возрастание,убывание и экстремум функции одной переменной.
- •24.Неопределенный интеграл и его свойства
- •25.Таблица простейших неопределенных интегралов
- •28.Вычисление площади плоской фигуры
- •31. Вычисление площади поверхности тела вращения.
- •34. Экстремум функции нескольких переменных.
- •36.Инетгрирование дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
- •39.Интегрирование дифференциального уравнения Клеро
- •40.Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •41.Правила приближенных вычислений
- •42Приближенное интегрирование
- •43Восстановление линейной зависимости между двумя переменными
- •6.Правила интегрирования.
- •7. Таблица неопределенных интегралов
- •5. Таблица производных
- •9.Эллипс(основной 11)
- •11.Парабола
- •12.Окружность
42Приближенное интегрирование
Приближенное интегрирование – раздел вычислительной математики, занимающийся приближенным решением дифференциальных уравнений.
Первой задачей приближенного интегрирования является приближенное вычисление интегралов (оно соответствует решению простейшего обыкновенного дифференциального уравнения y'=f(x)).
В тех случаях, когда точное интегрирование невозможно (интеграл не может быть выражен в известных функциях), применяются аналитические методы приближенного интегрирования, заключающиеся в том, что подынтегральная функция заменяется другой, интеграл от которой вычисляется более или менее легко. В качестве такой функции часто берут интерполяционный многочлен.
Приближенное интегрирование применяется также в тех случаях, когда интегрируемая функция задана таблицей или графиком или если она быстрее, чем интерполяционный многочлен, приводит к цели (с заданной точностью). Тогда применяют и графические методы (построение графика первообразной функции по графику подынтегральной функции, а также различные математические машины и приборы – вычислительные машины, интеграторы, планиметры и т.п.).
Основной задачей приближенного интегрирования является приближенное решение дифференциальных уравнений весьма общего вида. Здесь также существуют как аналитические, так и численные методы решения задач.
43Восстановление линейной зависимости между двумя переменными
Начнем с задачи точечного и доверительного оценивания линейной функции одной переменной.
Исходные данные – набор n пар чисел (tk , xk), k = 1,2,…,n, где tk – независимая переменная (например, время), а xk – зависимая (например, индекс инфляции, курс доллара США, объем месячного производства или размер дневной выручки торговой точки). Предполагается, что переменные связаны зависимостью
xk = a (tk - tср)+ b + ek , k = 1,2,…,n,
где a и b – параметры, неизвестные статистику и подлежащие оцениванию, а ek – погрешности, искажающие зависимость. Среднее арифметическое моментов времени
tср = (t1 + t2 +…+tn )/n
введено в модель для облегчения дальнейших выкладок.
Обычно оценивают параметры a и b линейной зависимости методом наименьших квадратов. Затем восстановленную зависимость используют, например, для точечного и интервального прогнозирования.
Как известно, метод наименьших квадратов был разработан великим немецким математиком К. Гауссом в 1794 г. Согласно этому методу для расчета наилучшей функции, приближающей линейным образом зависимость x от t, следует рассмотреть функцию двух переменных
Оценки метода наименьших квадратов - это такие значения a* и b*, при которых функция f(a,b)достигает минимума по всем значениям аргументов.
Чтобы найти эти оценки, надо вычислить частные производные от функции f(a,b) по аргументамa и b, приравнять их 0, затем из полученных уравнений найти оценки: Имеем:
|
|
|
|
Преобразуем правые части полученных соотношений. Вынесем за знак суммы общие множители 2 и (-1). Затем рассмотрим слагаемые. Раскроем скобки в первом выражении, получим, что каждое слагаемое разбивается на три. Во втором выражении также каждое слагаемое есть сумма трех. Значит, каждая из сумм разбивается на три суммы. Имеем:
|
|
|
|
Приравняем частные производные 0. Тогда в полученных уравнениях можно сократить множитель (-2). Поскольку
(1)
уравнения приобретают вид
Следовательно, оценки метода наименьших квадратов имеют вид
(2)
В силу соотношения (1) оценку а* можно записать в более симметричном виде:
|
|
|
|
Эту оценку нетрудно преобразовать и к виду
Следовательно, восстановленная функция, с помощью которой можно прогнозировать и интерполировать, имеет вид
x*(t) = a*(t - tср)+ b*.
Обратим внимание на то, что использование tср в последней формуле ничуть не ограничивает ее общность. Сравним с моделью вида
xk = c tk+ d + ek , k = 1,2,…,n.
Ясно, что
Аналогичным образом связаны оценки параметров:
Для получения оценок параметров и прогностической формулы нет необходимости обращаться к какой-либо вероятностной модели. Однако для того, чтобы изучать погрешности оценок параметров и восстановленной функции, т.е. строить доверительные интервалы для a*, b* и x*(t), подобная модель необходима.
Непараметрическая вероятностная модель. Пусть значения независимой переменной tдетерминированы, а погрешности ek , k = 1,2,…,n, - независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией неизвестной статистику.
В дальнейшем неоднократно будем использовать Центральную Предельную Теорему (ЦПТ) теории вероятностей для величин ek , k = 1,2,…,n (с весами), поэтому для выполнения ее условий необходимо предположить, например, что погрешности ek , k = 1,2,…,n, финитны или имеют конечный третий абсолютный момент. Однако заострять внимание на этих внутриматематических "условиях регулярности" нет необходимости.
Дополнительные вопросы
1. Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.
Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a| cos=пр ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр ab, то получаем:
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
. Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
Решение:
5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0b, то а b
.
Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
т.е
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
2. Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму векторуb виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и bкак на сторонах (см. рис. 17), т. е.
3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):
i х j = k, j х k = i, k х i = j. Докажем, например, что iхj=k.
1) ki, kj;
2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;
3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).
. Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).
Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxaпротивоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. (а хb ) = (а ) х b = а х (b ).
Пусть >0. Вектор (ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( а)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, а лежат в одной плоскости). Значит, векторы(ахb ) и ( а)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
Поэтому (a хb )= ахb . Аналогично доказывается при <0.
3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.
В частности, i *i =j *j =k *k =0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
(a+b) хс= ахс+b хс.
Примем без доказательства.
. Выражение векторного произведения через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора а=ахi +ayj +azk и b =bxi +byj +bzk . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):
Полученную формулу можно записать еще короче:
так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.
Дополнительный вопрос