4 Cкалярное произведение вектора и его свойства
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a·b=аЬсоs(a^ b). Если известны координаты векторов, то в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости a·b = xaxb+yayb+zazb
Свойства скалярного произведения:
1 )ab=ba 2)a(b+c)=ab+ac 3) если a┴b , то ab=0
5.Векторное произведение векторов и его свойства.
Векторным
произведением двух векторов a
и b в пространстве
называется вектор c,
длина которого равна произведению их
длин на синус угла между ними: c=absin(a^b),
он перпендикулярен векторам a
и b и векторы
a,b
и c образуют
правую тройку. Этот вектор обозначается
так: c=a×b.
Если известны координаты векторов, то
в прямоугольной правой декартовой
системе координат:
Свойства векторного произведения:
1)a×b=- b×a; 2) a×(b+c)=a×b+a×c; 3) если a параллельно b, то a×b=0; 4) для орт i,j,k справедливы соотношения i×j=k, i×k=j, j×k=i.
6. Свойства смешанного произведения векторов и его свойства
С
мешанным
произведением трёх векторов a,
b и c
в пространстве называется число
abc=(a×b)c.
Если известны координаты векторов, то
в прямоуголь ноправой декаротовой
системе координат
Свойства смешанного произведения:
1)abc= -acb= -bac= -cba; 2) если a,b и c компланарны, то abc=0; 3) если и компланарны и не параллелен, то существуют числа α и β такие, что с=αa+ βb (линейная связь). Эти числа вычисляются из условий: c×a=βb×a и c×b= αa×b или из условий ac=αa2 +βab и bc= αab+βb2
или из покоординатной записи.
7. В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.
8. Уравнение прямой на плоскости
1) Ax + By+ C = 0 – Общее уравн – е прямой
2) x/a + b/y = 1, где а и b не равны 0. – Уравн –е прямой в отрезка (a, b)
3) x – x0/ a = y – y0/b – Уравн – е прямой по точке (x0, y0 ) и направляющему вектору (a, b)
4) X = x0 + at
Y = y0 + bt , - параметрическое уравн – е прямой
9. Уравнение прямой в пространстве
1) А1х + В1у + С1z + D1 = 0, где A2 + B2 + C2 не равны 0 – Общее уравнение прямой в пространстве.
А2х + B2y + C2z + D2 = 0(2 уравнения в системе идут)
2) х – х0/a = y – y0/b = z – z0/c , где a,b,c не равны 0 – Уравн-е прямой по точке (х0, y0, z0) и направляющему вектору (a,b,c)
3) x – x1/ x2 – x1= y – y1/ y2 – y1= z – z1/ z2 – z1 , где х2 не равн х1, у2 не равн у1, z2 не равн z1 – Уравн –е прямой по 2 точкам (x1,y1,z1)и (x2,y2,z2)
4) X= x0 + at
Y = y0 + bt
Z = z0 + ct - Параметрическое уравнение прямой по точке (x0, y0, z0) и направляющему вектору(a, b, c)
10)Уравнение плоскости
1)Ax+By+Cz+D=0
A2+B2+C2≠0 Общее уравнение плоскости.(А,В,С)- вектор,перпендикулярный плоскости
2) А(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
A2+B2+C2≠0 Уравнение плоскости по точке (x0,y0,z0) b jhnjujyfkmyjve dtrnjhe (A,B,C)
3)z=kxx+kyy+b Уравнение плоскост с угловыми коэффициентами kx и ky
4)
+
+
=1
a≠0,b≠0,c≠0 Уравнение плоскости в отрезках a,b,c
5
)
x-x1
y-y1
z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0 Уравнение плоскости по трем точкам (x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)
x3-x1 y3-y1 z3-z1