Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
teoria_matematika (1).docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
20.04.2019
Размер:
891.68 Кб
Скачать

28.Вычисление площади плоской фигуры

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у =  = fι(x) и у = ƒг(х), прямыми х = а и х = b (при условии ƒ2(х) ≥ ƒ1(х)) (см. рис. 175), можно найти по формуле

31. Вычисление площади поверхности тела вращения.

Площадь поверхности, образованной вращением линии y=f(x), a≤x≤b вокруг оси Оx :

S =

Аналогично вокруг оси Oy :

S = dy

32. Функции нескольких переменных и способы задания.

Функции могут быть заданы формулами, таблицами или графически.

- задание формулой:

z= xy ; z=x2y3 ; z= и т.д.

- задание таблицей

x

1

1

1

2

2

y

1

2

3

1

2

f(x,y)

1

3

6

9

8

или

x y

1

2

3

1

1

9

-1

2

3

8

-5

3

6

5

-10

- графическое задание имеет 2 варианта : в виде рисунка поверхности, в виде изолиний.

33. Частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:

Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где dxf — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении .

34. Экстремум функции нескольких переменных.

 

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М00, у0) верно неравенство

то точка М0 называется точкой максимума.

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М00, у0) верно неравенство

то точка М0 называется точкой минимума.

  Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

  Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

35.Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.

Обозначим A = f"xx(x0,y0), B=f"xy(x0,y0), C=f"yy(x0,y0).

Если B²-4AC<0, то в точке(х0,y0) минимум при A>0 максимум при A<0.

Если B²-4AC>0, то в точке (x0,y0) экстремума нет.

36.Инетгрирование дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Уравнение вида у’= f(x)g(y) называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно решается так: умножаем обе части на dx, делим на g(y) и интегрируем. При этом если g(y0)=0, то у=у0 тоже является решением.

Уравнение имеет вид: dy/dx=f(x)g(y)

Это уравнение сводится к системе:

{ dy/g(y)=f(x)dx, g(y) не равно 0

{ y= const, g(y)=0

В первом уравнении после интегрирования находим y как неявную функцию от x :

 dy/ g(y)=  f(x) dx

37.Интегрирование однородного дифференциального ур-ия 1-ого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка (P(kx,ky) dx+Q(x,y) dy=0) называется однородным если коэффициенты P(x,y) b Q(x,y) при дифференциалах переменных x и y суть однородные функции одной и той же степени.

Уравнение в дифференциалах dy=f(x,y)dx

Таким образом дифференциальное уравнение является однородным тогда и только тогда, когда первая часть его f(x,y) есть однородная функция нулевой степени.

38. Интегрирование линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Линейное дифференциальное ур-ие имеет вид:

a(x)y’ + b(x)y + c(x)=0

где a(x), b(x), c(x)- заданные функции. Если a(x)не равняется нулю, то ур-ие можно записать в приведенном виде

y’+p(x)y=f(x)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]