- •Определители и их свойства
- •Решение систем линейных уравнений с помощью определителей
- •I. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
- •II. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
- •3.Линейные операции с векторами на плоскости и в пространстве.
- •4 Cкалярное произведение вектора и его свойства
- •5.Векторное произведение векторов и его свойства.
- •6. Свойства смешанного произведения векторов и его свойства
- •9. Уравнение прямой в пространстве
- •10)Уравнение плоскости
- •9. Эллипс
- •12)Гипербола
- •13.Парабола
- •14.Окружность
- •17. Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).
- •19. Непрерывность функции одной переменной.
- •20. Производная и ее свойства. Дифференциал.
- •22. Направление вогнутости и точки перегиба.
- •23.Возрастание,убывание и экстремум функции одной переменной.
- •24.Неопределенный интеграл и его свойства
- •25.Таблица простейших неопределенных интегралов
- •28.Вычисление площади плоской фигуры
- •31. Вычисление площади поверхности тела вращения.
- •34. Экстремум функции нескольких переменных.
- •36.Инетгрирование дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
- •39.Интегрирование дифференциального уравнения Клеро
- •40.Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •41.Правила приближенных вычислений
- •42Приближенное интегрирование
- •43Восстановление линейной зависимости между двумя переменными
- •6.Правила интегрирования.
- •7. Таблица неопределенных интегралов
- •5. Таблица производных
- •9.Эллипс(основной 11)
- •11.Парабола
- •12.Окружность
28.Вычисление площади плоской фигуры
Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = = fι(x) и у = ƒг(х), прямыми х = а и х = b (при условии ƒ2(х) ≥ ƒ1(х)) (см. рис. 175), можно найти по формуле
31. Вычисление площади поверхности тела вращения.
Площадь поверхности, образованной вращением линии y=f(x), a≤x≤b вокруг оси Оx :
S =
Аналогично вокруг оси Oy :
S = dy
32. Функции нескольких переменных и способы задания.
Функции могут быть заданы формулами, таблицами или графически.
- задание формулой:
z= xy ; z=x2y3 ; z= и т.д.
- задание таблицей
x |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
y |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
f(x,y) |
1 |
3 |
6 |
9 |
8 |
или
x y |
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
9 |
-1 |
2 |
3 |
8 |
-5 |
3 |
6 |
5 |
-10 |
- графическое задание имеет 2 варианта : в виде рисунка поверхности, в виде изолиний.
33. Частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где dxf — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении .
34. Экстремум функции нескольких переменных.
Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой максимума.
Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой минимума.
Теорема. (Необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
35.Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.
Обозначим A = f"xx(x0,y0), B=f"xy(x0,y0), C=f"yy(x0,y0).
Если B²-4AC<0, то в точке(х0,y0) минимум при A>0 максимум при A<0.
Если B²-4AC>0, то в точке (x0,y0) экстремума нет.
36.Инетгрирование дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Уравнение вида у’= f(x)g(y) называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно решается так: умножаем обе части на dx, делим на g(y) и интегрируем. При этом если g(y0)=0, то у=у0 тоже является решением.
Уравнение имеет вид: dy/dx=f(x)g(y)
Это уравнение сводится к системе:
{ dy/g(y)=f(x)dx, g(y) не равно 0
{ y= const, g(y)=0
В первом уравнении после интегрирования находим y как неявную функцию от x :
dy/ g(y)= f(x) dx
37.Интегрирование однородного дифференциального ур-ия 1-ого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка (P(kx,ky) dx+Q(x,y) dy=0) называется однородным если коэффициенты P(x,y) b Q(x,y) при дифференциалах переменных x и y суть однородные функции одной и той же степени.
Уравнение в дифференциалах dy=f(x,y)dx
Таким образом дифференциальное уравнение является однородным тогда и только тогда, когда первая часть его f(x,y) есть однородная функция нулевой степени.
38. Интегрирование линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Линейное дифференциальное ур-ие имеет вид:
a(x)y’ + b(x)y + c(x)=0
где a(x), b(x), c(x)- заданные функции. Если a(x)не равняется нулю, то ур-ие можно записать в приведенном виде
y’+p(x)y=f(x)