Последовательность расчета переходных процессов операторным методом
1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутационного режима работы цепи.
2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми начальными условиями этот этап может быть опущен).
3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных условий.
4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.
5. Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.
В качестве примера использования операторного метода определим ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 1.
С учетом нулевого начального условия операторное изображение этого тока
.
Для нахождения оригинала воспользуемся формулой разложения при нулевом корне
|
(1) |
, где
,
.
Корень
уравнения
.
Тогда
и
.
Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1), получим
.
Воспользовавшись
предельными соотношениями, определим
и
:
Формулы включения
Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.
Формула включения на экспоненциальное напряжение
, (2)
где - входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома); - к-й корень уравнения .
Формула включения на постоянное напряжение
(вытекает
из (2) при
)
.
Формула включения на синусоидальное напряжение
(формально
вытекает из (2) при
и
)
.
В
качестве примера использования формулы
включения рассчитаем ток в цепи на рис.
2, если в момент времени t=0 она подсоединяется
к источнику с напряжением
;
;
.
В
соответствии с заданной формой напряжения
источника для решения следует
воспользоваться формулой (2). В ней
.
Тогда корень уравнения
.
Производная
и
.
В результате
.
Сведение расчета переходного процесса к расчету с нулевыми начальными условиями
Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения.
Методику
сведения цепи к нулевым начальным
условиям иллюстрирует рис. 3, на котором
исходная схема на рис. 3,а заменяется
эквивалентной ей схемой на рис. 3,б, где
.
Последняя в соответствии с принципом
наложения раскладывается на две схемы;
при этом в схеме на рис. 3,в составляющая
общего
тока
равна
нулю. Таким образом, полный ток
равен
составляющей тока
в
цепи на рис. 3,г, где исходный активный
двухполюсник АД заменен пассивным ПД,
т.е. схема сведена к нулевым начальным
условиям.
Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 3,г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС к пассивному двухполюснику.
Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему навстречу ему.
