05 семестр / Книги и методические указания / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике / Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 1 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003

При таком движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг касательных к линиям тока, как показано на рис. 1.23. Направляющие косинусы векторов щ иV

=−2 (Vy ωz − Vz ωy )dx + (Vz ωx −Vxωz )dy + (Vxωy − Vy ωx )dz

иимея в виду (1.60), получаем

На рис. 1.24 показана вихревая пелена за крылом. Аналогичная пелена появляется за лопастью осевой гидромашины.

Рис. 1.24. Вихревая пелена за крылом по данным [10]

41

Вихревые нити «подвешены» к задней кромке крыла и при движении крыла сбегают с него, как нить с веретена. Движение частиц жидкости, составляющих пелену — винтовое. Поэтому

для любых точек пелены справедливо соотношение (1.61). Интеграл Лагранжа. Теперь интегрируем уравнения (1.47)

для неустановившегося потенциального движения жидкости, при котором ωx = ωy = ωz = 0 . В этом случае уравнения (1.47)

принимают вид:

Частные производные от потенциала скорости ϕ по координа-

Поскольку значение частной производной не зависит от порядка дифференцирования, то

Подставляя эти производные в предыдущие уравнения, найдем:

В общем случае неустановившегося движения четырехчлен

U − P − V 2 − ∂ϕ является функцией координат и времени. Одна-

2∂t

ко уравнения (1.62) показывают, что в данном случае он не зависит от координат и поэтому в данный момент времени

42

Здесь C(t) — функция интегрирования, которая зависит от времени t и не зависит от координат x, y, z. В данный фиксированный момент времени эта функция постоянна.

Выясним физический смысл производной ∂ϕ в уравне-

∂t

нии (1.63). Выберем в потоке жидкости две произвольные точки 1 и 2 и соединим их дугой длиной S (рис. 1.25). Дифференциал потенциала скорости равен дифференциалу циркуляции

Рис. 1.25. К вычислению производной потенциала скорости по времени

Интегрируя это уравнение в данный момент времени от 1 до 2, получим:

2

ϕ2 − ϕ1 = ∫Vs dS .

1

Производная по времени от этого выражения

Так как S и t являются независимыми переменными, то выполним вначале дифференцирование под знаком интеграла, а затем интегрирование.

43

Производная ∂Vs — ускорение в данной точке или проекция

∂t

инерционной силы, отнесённой к единице массы жидкости. По-

этому ∂Vs dS является элементарной работой инерционной си-

∂t

2 ∂V

лы на бесконечно малом пути dS , а ∫ s dS — работа при пе-

1 ∂t

массы жидкости в данной точке потока.

Уравнение (1.63) можно истолковать следующим образом. При неустановившемся потенциальном течении полная энергия единицы массы жидкости в любых двух точках потока в данный момент времени одинакова.

В частном случае движения несжимаемой жидкости в поле

силы тяжести U = −gz + const , а P = p + const . Поэтому уравне-

с

Причем, в случаях потенциального и винтового движений точки 1 и 2 — любые две точки потока. В случае вихревого движения точки 1 и 2 выбираются на данной линии тока. При тех же условиях интеграл Лагранжа ( 1.63) запишется так

В этом выражении точки 1 и 2 — любые две точки в области неустановившегося потенциального потока.

44

1.11.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Теорема Томсона. Циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру в (1) идеальной, (2) баротропной жидкости при наличии массовых сил, (3) обладающих однозначным потен- циалом во всё время движения жидкости остаётся неизменной.

Проведём в движущейся жидкости в момент времени t контур AB (рис. 1.26). Этот контур считается жидким. Каждая частица M этого контура движется со скоростью V и за промежу-

Тогда производная по времени от циркуляции по жидкому контуру

Необходимо доказать, что d = 0 . dt

Рис. 1.26. К доказательству теоремы Томсона о постоянстве циркуляции по замкнутому жидкому контуру

Положение произвольной частицы жидкости M на дуге AB в момент времени t можно задать её расстоянием S до точки A (рис. 1.26). В таком случае декартовы координаты частицы

45

x = x(S, t), y = y(S, t), z = z(S, t) .

Пусть в данный момент времени t проекции элемента дуги дS на оси координат равны дx, дy, дz, а проекции перемещения dS частицы M за промежуток времени t на оси координат есть dx, dy, dz . Циркуляция в момент времени t

B

= ∫(Vxдx + Vyдy + Vzдz ),

A

а её производная по времени

вследствие независимости операций интегрирования по длине дуги и дифференцирования по времени.

Выполняя дифференцирование по времени под знаком интеграла, получим:

Рассмотрим второе подынтегральное выражение. В соответствии с уравнениями Эйлера (1.38) — (1.40)

46

Так как в соответствии с условиями теоремы внешние массовые силы обладают потенциалом U , а жидкость баротропна, то

что и доказывает теорему Томсона.

Следствием этой теоремы являются ещё две теоремы.

Вторая теорема Гельмгольца о сохранении вихревых тру-

бок. При тех же предположениях, что и в теореме Томсона,

вихревая трубка во всё время движения состоит из одних и тех же частиц жидкости.

Возьмём на поверхности S вихревой трубки бесконечно малый контур L (рис. 1.27а). По формуле (1.33)

Рис. 1.27. Во все время движения вихревая трубка состоит из одних и тех же частиц жидкости, а ее интенсивность постоянная

47

d L = 2ωndS .

Так как вектор щ касается поверхности S , то во всякой точке этой поверхности нормальная составляющая вектора угловой скорости вращения частицы ωn = 0 и циркуляция d L = 0 . В

следующий момент времени t′ жидкий контур L займёт положение L′ . Бесконечно малый контур L′ будет лежать на поверхности S′ , образованной теми же частицами жидкости, которые раньше составляли поверхность S . По теореме Томсона

d L′ = d L = 0.

Но тогда из формулы (1.33) следует, что

ω′ dS′ = 0

n

Бесконечно малый контур L′ можно взять в любом месте поверхности S′ . В таком случае во всякой точке поверхности S′

ω′ = 0 .

n

Это означает, что поверхность S′ есть поверхность вихревой трубки. Каждая индивидуальная вихревая трубка перемещается в пространстве вместе с частицами, её составляющими. Таким же свойством сохраняемости обладают и вихревые линии. Вихревые нити с «нанизанными» на них частицами сохраняются во всё время движения, как показано на рис. 1.27б.

Третья теорема Гельмгольца о сохранении интенсивности вихревых трубок. При тех же предположениях, что и в тео-

реме Томсона, интенсивность любой вихревой трубки во всё время движения остаётся постоянной.

Интенсивность I вихревой трубки в момент времени t равна циркуляции скорости по контуру l, то есть I = l , а в момент

На рис. 1.28 показана фотография пары развивающихся крупных атмосферных вихрей — циклонов над Индийским океаном.

48

зают вихри. Так, при движении маловязкой жидкости вблизи твёрдых поверхностей её нельзя считать идеальной. В этих местах возможно образование вихрей. На рис. 1.30 показан вихрь, развивающийся за острым ребром в потоке жидкости.

Рис. 1.30. Вихрь за острым ребром по Прандтлю. Течение слева направо [7]

На рис. 1.31 схематически показаны два вихря, возникшие в подводящей камере осевого насоса.

Рис. 1.31. Вихри в подводящей камере осевого насоса

50