Добавил:

Uman Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Механика жидкостей и газов

Файл:

Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 1 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003

.pdf

Источник:

https://studizba.com

Скачиваний:

258

Добавлен:

04.03.2014

Размер:

1.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Рис. 1.2. Линия тока

Линия тока строится для данного момента времени, как показано на рис. 1.2.

Траектория — линия, вдоль которой движется частица жидкости. При установившемся движении линии тока и траектории совпадают.

Составим дифференциальное уравнение линии тока. В точке М линии тока (рис. 1.3) вектор скорости V направлен по касательной к ней. Его проекции на оси координат Vx , Vy , Vz .

Выберем на линии тока точку M ′ , расположенную на бесконечно малом расстоянии dl от точки M. Проекции направленного отрезка MM′ на оси координат равны dx , dy , dz . Направляющие косинусы вектора V :

Рис. 1.3. К выводу дифференциального уравнения линии тока

cos ( x, V ) = Vx V , cos ( y, V ) = Vy V , cos (z, V ) = Vz V , а отрез-

ка MM′ :

cos ( x, MM′) = dxdl , cos ( y, MM′) = dydl , cos (z, MM′) = dzdl .

Так как	при стремлении точки				M ′ к			M направление отрез-
ка MM′	совпадает с направлением вектора скорости, то соответ-
ствующие направляющие косинусы будут равны друг другу и
		dx	=	dy	=	dz	.	(1.11)

	Vx Vy				Vz

Это уравнение называется дифференциальным уравнением линии тока. Чтобы найти уравнение линии тока, в (1.11) нужно подставить проекции скорости и проинтегрировать его.

Рис. 1.4. Поверхность тока (а) и трубка тока (б)

Выберем в движущейся жидкости контур L и через его точки проведем линии тока (рис 1.4). Получившееся линейчатая поверхность называется поверхностью тока. Проведем замкнутый контур L 1 . Соответствующая поверхность называется трубкой

тока.

Через каждую точку пространства, заполненного жидкостью в данный момент времени может проходить только одна линия тока. Исключением являются такие точки, через которые проходит либо несколько, либо даже бесчисленное множество линий тока, либо наоборот ни одной линии тока. Это — особые точки поля скоростей (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Особые точки поля скоростей:

а— седло; б — узел; в — центр; г — фокус

1.4.ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ЖИДКОГО ОБЪЕМА

В окрестности произвольной точки M (x,y,z) выделим элементарный жидкий объем в форме параллелепипеда (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Движение элементарной жидкой частицы

Пусть Vx , Vy , Vz — компоненты скорости в точке M, а Vx' ,

Vy' , Vz' — компоненты скорости в точке M ' . Тогда с точностью до бесконечно малых первого порядка:

∂Vx

= Vx

dx +

dy +

dz,

∂x

∂y

∂z

∂Vy

= Vy

dx +

dy +

dz,

(1.12)

∂x

∂y

∂z

∂V

Vz'

= Vz

dx +

dy +

dz.

∂y

∂x

∂z

Из уравнений (1.12) очевидно, что скорость в точке

M ' по

сравнению со скоростью в точке M характеризуется девятью

добавочными составляющими:

∂V

∂x

∂y

∂z

∂Vy

(1.13)

∂x

∂y

∂z

∂V

∂x

∂y

∂z

Выясним физический смысл этих производных.

Рассмотрим движение вдоль оси Ox жидкого отрезка MM1

(ребра параллелепипеда) на рис. 1.7. За бесконечно малое время

t отрезок MM1 удлиняется (или укорачивается) на: ∂Vx dxdt.

∂x

Рис 1.7.Движение элементарной жидкой линии вдоль горизонтальной оси

Относительное удлинение будет:	∂Vx	dt.	Скорость относитель-

	∂x
ного удлинения в направлении оси Оx:			∂Vx	= λ		. То же в на-
					x
			∂x

	∂Vy				∂V
правлении других осей:		= λ		,	z	= λ		.
	∂y		y				z
					∂z

Следовательно, одноименные производные в (1.13) представляют собой скорости относительного удлинения элементарных жидких отрезков вдоль осей координат:

			∂V
λ x		=	x	,
λ x		=	∂x	,
			∂x
			∂Vy
λ y		=		,	(1.14)
λ y		=	∂y	,	(1.14)
			∂y
			∂V
λ		=	z	.
λ	z	=		.
	z		∂z
			∂z

Эти скорости имеют размерность 1/c.

Рис. 1.8. Движение элементарной жидкой плоскости

Далее рассмотрим движение жидкой плоскости, показанной

на рис.1.8. За бесконечно малый промежуток времени

t точка

переместится относительно точки М на расстояние

∂Vz

dxdt.

∂x

Скорость этого перемещения

∂Vz

dx,

а угловая скорость враще-

∂x

ния отрезка MM1 относительно оси,

проходящей через точку M

и перпендикулярную плоскости чертежа:

∂Vz

∂x

Угловая скорость вращения ребра MM

будет

∂Vz

Следова-

∂x

тельно, разноименные производные (1.13) — это угловые скорости вращения соответствующих ребер.

Дадим следующее определение: компоненты ωx , ωy , ωz

угло-

вой скорости щ вращения частицы —

среднее арифметиче-

ское из компонентов угловой скорости ребер:

∂V

∂Vy

ωx

−

∂y

∂z

∂V

ωy

−

(1.15)

∂z

∂x

∂Vy

∂V

ωz

−

∂x

∂y

Можно доказать, что щx , щy , щz

представляют собой угловые

скорости вращения биссектрис углов, как показано на рис. 1.8. Для компонентов угловой скорости справедливо правило круговой перестановки: x, y, z, x, y, z, …

При движении жидкой частицы прямые углы скашиваются.

Скорости скошения прямых углов:	∂Vx	+	∂Vz	и т.д. Для сим-

	∂z		∂x

метрии с формулами (1.15) вводятся половинные скорости:

∂V

εzx

∂z

∂x

∂Vy

∂V

εxy

(1.16)

∂x

∂y

∂V

∂Vy

ε yz

∂y

∂z

В общем случае движение элементарной жидкой частицы может разложено на три движения: поступательное вместе с произвольно выбранным полюсом, вращательное относительно оси, проходящей через выбранный полюс, и деформационное движение. Это утверждение составляет содержание теоремы Гельмгольца о движении жидкой частицы.

1.5.ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ БЕЗ ВРАЩЕНИЯ ЧАСТИЦ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ

Так как частицы жидкости не вращаются, т.е.

ωx = ωy = ωz = 0 ,

то на основании (1.15)

∂V

∂Vy

∂V

∂Vy

∂V

(1.17)

∂y

∂z

∂x

∂y

Эти равенства — условия

Коши—Римана для

функций

Vx ( x, y, z, t), Vy ( x, y, z, t),

Vz ( x, y, z, t) в некоторый момент вре-

мени t = const . Они являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы дифференциальное выражение Vxdx + Vy dy + Vzdz в данный момент времени было полным диф-

ференциалом некоторой функции ϕ( x, y, z, t) :

Vxdx + Vy dy + Vzdz = d ϕ .

(1.18)

Функция ϕ(x, y, z, t) называется потенциальной функцией, или потенциалом скорости.

Так как полный дифференциал потенциала скорости

d ϕ =

∂ϕ

dx +

∂ϕ

dy +

∂ϕ

dz ,

(1.19)

∂x

∂y

∂z

то из (1.18) и (1.19) следует:

∂ϕ

= V

∂ϕ

= V

∂ϕ

= V .

(1.20)

∂x

∂y

∂z

Всякому движению жидкости без вращения частиц соответствует свой потенциал скорости ϕ и наоборот, если существует ϕ , то это движение без вращения частиц. Движение в этом случае называется потенциальным. Оно полностью характеризуется функцией ϕ . Производная от ϕ по любому направлению S равна проекции скорости V на это направление.

Выберем декартову систему координат (рис.1.9).

Рис. 1.9. Производная по направлению (а) и скорость изменения функции (б)

Пусть M 0 — фиксированная точка, а M — переменная точка.

Потенциал является функцией точки: ϕ = ϕ(M ) . Производной по направлению называется

∂ϕ	=	lim	ϕ(M ) − ϕ( M 0 )		.

∂S		MM 0 →0	MM	0

Положение точки M можно задать длиной S отрезка: x = x(S ), y = y(S ), z = z(S ) ,

где S — выступает как параметр. Следовательно,

верхности.

= V cos(V, S) = VS .

ϕ = ϕ( x, y, z) — сложная функция, зависящая от S через x, y, z :

∂ϕ = ∂ϕ dx + ∂ϕ dy + ∂ϕ dz ,

∂S ∂x dS ∂y dS ∂z dS

∂ϕ

cos(S, x) +

∂ϕ

cos(S, y) +

∂ϕ

cos(S, z) .

∂S ∂x

∂y

∂z

Так как

∂ϕ

= V

= V cos(V, x),

∂ϕ

= V

= V cos(V, y),

∂ϕ

= V = cos(V, z),

∂x

∂y

∂z

то

∂ϕ

∂S

=V [cos(S, x) cos(V , x) + cos(S, y) cos(V , y) + cos(S, z) cos(V , z)] =

=V cos(V, S)=VS , то есть имеет место равенство:

∂ϕ

(1.21)

∂S

Производная ∂ϕ характеризует быстроту изменения ϕ . Быст-

∂S

рее всего ϕ меняется в направлении V . Когда S совпадает с V , то

cos(V, S) = 1 и ∂ϕ = max .

∂S

Равным значениям потенциала скорости в различных точках пространства соответствуют поверхности уровня потенциала ϕ или поверхности равного потенциала. Уравнение семейства по-

верхностей равного потенциала будет: ϕ( x, y, z) = const .

Линии тока перпендикулярны поверхностям равного потен-

циала (рис.	1.10). Возьмем S по касательной к поверхности
ϕ = const .	Так	как ϕ = const , то	∂ϕ	= 0 . Следовательно,

			∂S
V cos(V, S) = 0 ,		т.е. V перпендикулярен эквипотенциальной по-

Рис. 1.10. Эквипотенциальные поверхности и лини тока взаимно перпендикулярны

1.6.УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ (СПЛОШНОСТИ) ПОТОКА

Предполагаем, что движущаяся жидкость сплошным образом заполняет пространство или определенную его часть и что во время движения не происходит ни потери вещества, ни его возникновения. Такие предположения налагают некоторые условия на изменения плотности и объема жидкости во время движения. Это условие называется уравнением неразрывности.

В потоке жидкости возьмем произвольную точку M с координатами x, y, z (рис. 1.11) и выделим в окрестности этой точки элементарный объем жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка M была бы одной из его вершин. Пусть площадь поверхности параллелепипеда S, ребра параллелепипеда параллельны координатным осям, а их длины соответственно равны dx, dy, dz . За бесконечно малый промежуток времени dt внутрь рассматриваемого объема через левую грань площадью dydz в направлении оси x втекает масса жидкости ρVxdydzdt .

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике